Lo scopo principale è lo studio delle simmetrie di varie strutture dell'analisi, della geometria e della fisica matematica, tra cui C*-algebre, grafi, alberi, geometrie discrete e campi quantistici. Un tema ricorrente è l'analisi del gruppo di automorfismi di C*-algebre associate a strutture algebriche/geometriche quali (semi-)gruppi (possibilmente quantistici), bimoduli e grafi, o la struttura categoriale della geometria noncommutativa, o l'azione di gruppi su grafi sia dal punto di vista combinatorio, sia della teoria delle rappresentazioni e delle associate funzioni sferiche, sia per applicazioni in probabilità (e.g. catene di Markov) e che riguarda varie famiglie di gruppi notevoli (finiti, discreti, non amenabili, sofici). Nel caso finito si considerano principalmente rappresentazioni di prodotti corona di gruppi simmetrici e di gruppi lineari su campi finiti, visti tramite la loro azione su strutture geometriche quali alberi e varietà algebriche. Nell'ambito dello studio di Gruppi quantistici e teorie di campo conforme si vuole sviluppare una teoria di algebre quasi Hopf deboli per lo studio di questioni che emergono nelle principali teorie di campo conforme quali l'unitarizzabilità oppure l'equivalenza categoriale di strutture tensoriali. Ci interessano anche proprietà spettrali di prodotti zigzag di grafi, di successioni crescenti di grafi regolari finiti, in relazione al concetto di espansore, che ha notevoli applicazioni sia sul piano puramente combinatorio, come anche all'informatica e alla teoria dei codici. Intendiamo poi approfondire lo studio di prodotti corona di grafi da molteplici punti di vista: proprietà spettrali e passeggiate aleatorie, gruppi di automorfismi, legame con prodotti corona di gruppi, studio di indici topologici basati sul grado e sulle distanze, e.g. l'indice di Wiener, che trovano numerose applicazioni in Chimica matematica. Infine, intendiamo sviluppare Teoremi tipo Garden of Eden per sistemi dinamici.
Il progetto di ricerca, di natura puramente teorica (ma con risvolti applicativi a discipline esterne alla matematica quali la fisica teorica e le scienze informatiche), si basa su una consolidata letteratura scientifica in aree di grande interesse della Matematica quali le Algebre di Operatori e l'Analisi Armonica, a cui i proponenti hanno contribuito in maniera significativa negli ultimi anni (come si evince dalle
rispettive produzioni scientifiche). Tutti i temi affrontati sono di rilevanza internazionale, e questo testimonia il carattere innovativo di questi studi e la qualità dei nostri contributi. L'esperienza maturata e il congruo numero di pubblicazioni su riviste di alto livello sono garanti della potenzialità di realizzare un avanzamento delle conoscenze rispetto allo stato dell'arte, nel solco dei risultati conseguiti precedentemente che ci pongono in una posizione privilegiata rispetto ad altri attori. Infatti parte del lavoro sarà basato sulla continuazione di attività già iniziate, che risultano ben avviate ma presentano
ancora ampi margini di avanzamento, ma è previsto che vengano pure attivati nuovi filoni di ricerca, che arricchiscano il panorama complessivo.
Per testimoniare le potenzialità del gruppo ricordiamo alcune attività recenti, che tuttavia offrono ancora numerosi spunti e linee guida per il futuro:
Studio di endomorfismi e automorfismi delle algebre di Cuntz, da molteplici punti di vista: struttura globale dei gruppo degli automorfismi e degli automorfismi esterni, aspetti combinatorici e legami con strutture discrete quali alberi con radice, relazioni con la teoria ergodica/dinamica simbolica e i sistemi integrabili, coniugazione di sottoalgebre abeliane massimali, costruzione di endomorfismi esotici.
Analisi di Fourier in algebre distorte di gruppo e in prodotti incrociati; applicazioni allo studio di proprietà strutturali di queste algebre, e.g. proprietà di invarianza asintotiche quali l'amenabilità e varie altre forme di approssimabilità, struttura degli ideali e caratterizzazioni dei gruppi C*-
semplici, moltiplicatori completamente limitati/positivi e funzioni di tipo positivo.
Aspetti geometrici della struttura di superselezione di reti di algebre di von Neumann, nel limite di scala e in teorie conformi chirali. Aspetti categoriali della geometria non commutativa, categorificazione orizzontale e verticale.
Studio delle teorie di campo conforme, nell'approccio
algebrico, dove un ruolo fondamentale è associato all'algebra di Zhu.
Studio della classe dei gruppi quantistici compatti che contiene al suo interno i gruppi di Lie classici, ma anche
duali di gruppi discreti arbitrari ed esempi estremamente liberi. Un problema importante è quello di studiare proprietà geometriche di essi, ad esempio terne spettrali di Connes, selezionando classi per le quali la teoria classica si estende. Il progetto ha la potenzialità di estendere ai gruppi quantistici discreti il complesso teorema di Gromov del 1981 sulla crescita polinomiale dei gruppi discreti mediante l'uso delle categorie tensoriali.
Studio di prodotti di grafi, non solo da un punto di vista
combinatorio, ma anche in relazione alla teoria geometrica dei gruppi, all'analisi spettrale e alle passeggiate aleatorie. In quest'ottica, sono stati introdotti e studiati anche prodotti di matrici associati a queste costruzioni, con l'intento di descriverne in modo agevole la matrice di adiacenza e la matrice delle distanze.
Studio dell'indice di Frobenius-Schur, soprattutto in connessione con le coppie di Gelfand e la teoria delle funzioni sferiche. Sempre in tale settore abbiamo generalizzato un teorema di Mackey sulla restrizione dei prodotti tensoriali di rappresentazioni irriducibili estendendolo al caso in cui si restringe da un
gruppo ad un sottogruppo, dando un criterio necessario e sufficiente affinché tale decomposizione sia priva di molteplicità.
Studio delle funzioni sferiche per una generica rappresentazione indotta, anche nel caso in cui tal rappresentazione si decomponga con molteplicità.
Studio degli automi cellulari: una domanda di Gromov
chiedeva se il teorema di Garden of Eden si poteva "generalizzare a sistemi dinamici di tipo iperbolico". Diverse nozioni (omoclinicita' (nel senso di Poincare'), forte irriducibilita', specificazione, espansivita', entropia) svolgono un ruolo fondamentale per deterninare tale
generalizzazione.