Il progetto si propone di studiare le simmetrie di varie strutture dell'analisi e della geometria: C*-algebre, grafi, alberi, geometrie discrete, campi quantistici. Lo studio del gruppo di automorfismi di C*-algebre associate a strutture algebriche/geometriche come gruppi, semigruppi, bimoduli e grafi offre spunti di notevole interesse. In analogia con la teoria dei gruppi di Lie semisemplici, esamineremo opportuni gruppi di Weyl come normalizzanti di tori massimali. Già nel caso delle algebre di Cuntz questi gruppi manifestano sofisticate proprietà che coinvolgono spazi di Cantor, dinamica simbolica, macchine di Turing e combinatoria di permutazioni e alberi. L'azione di gruppi su grafi ha interesse sia dal punto di vista combinatorio, sia della teoria delle rappresentazioni e delle associate funzioni sferiche, sia per applicazioni in probabilità (e.g. a catene di Markov) e riguarda varie famiglie di gruppi notevoli (finiti, discreti, non amenabili, sofici). Per quanto riguarda il caso finito siamo interessati principalmente a rappresentazioni di prodotti corona di gruppi simmetrici e di gruppi lineari su campi finiti, visti tramite la loro azione su strutture geometriche quali alberi, varietà grassmanniane. Altro campo sotto esame è quello della trasformata di Fourier veloce, sia commutativa che non commutativa, formulata attraverso la teoria delle rappresentazioni e l'uso di rappresentazioni matriciali. Nel caso infinito, il nostro interesse è rivolto a proprietà di natura geometrica (ad esempio del grafo di Cayley) e di natura spettrale, associate a operatori rilevanti definiti tramite convoluzione che intervengono in una teoria di Fourier non commutativa. Ci interessano anche proprietà spettrali di prodotti zigzag di grafi, di successioni crescenti di grafi regolari finiti, in relazione al concetto di espansore, che ha notevoli applicazioni sia sul piano puramente combinatorio sia in campo probabilistico, come anche all'informatica e alla teoria dei codici.
Il progetto di ricerca, di natura puramente teorica (ma con risvolti applicativi a discipline esterne alla matematica quali la fisica teorica e le scienze informatiche), si basa su una consolidata letteratura scientifica in aree di grande interesse della Matematica quali le Algebre di Operatori e l'Analisi Armonica, a cui i proponenti hanno contribuito in maniera significativa negli ultimi anni (come si evince dalle rispettive produzioni scientifiche). Tutti i temi affrontati sono di rilevanza internazionale, e questo testimonia il carattere innovativo di questi studi e la qualità dei nostri contributi. L'esperienza maturata e il congruo numero di pubblicazioni su riviste di alto livello garantiscono la potenzialità di realizzare un avanzamento delle conoscenze rispetto allo stato dell'arte, nel solco dei risultati conseguiti in passato. Infatti parte del lavoro sarà basato sulla continuazione di attività già iniziate, che risultano ben avviate ma presentano ancora ampi margini di avanzamento, ma è previsto che vengano pure attivati nuovi filoni di ricerca, che arricchiscono il panorama complessivo.
Per testimoniare le potenzialità del gruppo ricordiamo alcune attività recenti, che ancora offrono numerosi spunti e linee guida per il futuro: Studio di endomorfismi e automorfismi delle algebre di Cuntz, da molteplici punti di vista: struttura globale dei gruppo degli automorfismi e degli automorfismi esterni, aspetti combinatorici e legami con strutture discrete quali alberi con radice, relazioni con la teoria ergodica/dinamica simbolica, coniugazione di sottoalgebre abeliane massimali, costruzione di endomorfismi esotici. Analisi di Fourier in algebre distorte di gruppo e in prodotti incrociati; applicazioni allo studio di proprietà strutturali di queste algebre, e.g. proprietà asintotiche quali l'amenabilità e varie forme di approssimabilità, struttura degli ideali e caratterizzazioni dei gruppi C*-semplici, moltiplicatori completamente limitati/positivi e funzioni di tipo positivo. Aspetti geometrici della struttura di superselezione di reti di algebre di von Neumann, nel limite di scala e in teorie conformi chirali. Aspetti categoriali della geometria non commutativa, categorificazione orizzontale e verticale.
Una parte importante dell'attività di ricerca è stata anche dedicata allo studio di prodotti di grafi, non solo da un punto di vista combinatorio, ma anche in relazione alla teoria geometrica dei gruppi, all'analisi spettrale e alle passeggiate aleatorie. In quest'ottica, sono stati introdotti e studiati anche prodotti di matrici associati a queste costruzioni, con l'intento di descriverne in modo agevole la matrice di adiacenza e la matrice delle distanze. Più precisamente, abbiamo introdotto il prodotto corona di matrici, il cui nome si ispira all'analoga costruzione per grafi, provando che il prodotto corona delle matrici di adiacenza di due grafi dà la matrice di adiacenza del prodotto corona dei due grafi. Abbiamo sfruttato questa corrispondenza per descrivere le proprietà spettrali del famoso Lamplighter random walk, calcolando esplicitamente lo spettro nel caso del modello con due colori sul grafo completo, ed estendendo poi tale studio al caso più generale in cui il secondo fattore è una qualsiasi matrice circolante. Abbiamo poi focalizzato la nostra attenzione sul caso del prodotto corona di due grafi completi, calcolando lo spettro della sua matrice di adiacenza, della matrice delle sue distanze, nonché l'indice di Wiener. Nel settore della teoria dell'analisi armonica su gruppi finiti ci siamo occupati dell'indice di Frobenius-Schur, soprattutto in connessione con le coppie di Gelfand e la teoria delle funzioni sferiche. Sempre in tale settore abbiamo generalizzato un teorema di Mackey sulla restrizione dei prodotti tensoriali di rappresentazioni irriducibili estendendolo al caso in cui si restringe da un gruppo ad un sottogruppo, dando un criterio necessario e sufficiente affinché tale decomposizione sia priva di molteplicità. Infine abbiamo esteso la teoria delle funzioni sferiche ad
una generica rappresentazione indotta, anche nel caso in cui tal rappresentazione si decomponga con molteplicità.