Il presente progetto si propone di continuare ulteriormente lo studio delle simmetrie di varie strutture matematiche: C*-algebre, campi quantistici, grafi, gruppi, geometrie discrete.
Lo studio del gruppo degli automorfismi di C*-algebre associate a strutture algebriche e geometriche, come gruppi, semigruppi, bimoduli e grafi offre spunti di notevole interesse. Nell'ambito dello studio di Gruppi quantistici e teorie di campo conforme intendiamo continuare lo sviluppo di una teoria di algebre quasi Hopf deboli per lo studio di varie questioni che emergono nelle principali teorie di campo conforme come ad esempio l'unitarizzabilità oppure l'equivalenza di strutture tensoriali.
L'azione di gruppi su grafi e alberi con radice ha interesse sia dal punto di vista combinatorio, sia da quello della teoria delle rappresentazioni e delle funzioni sferiche associate, sia per applicazioni probabilistiche e riguarda varie famiglie di gruppi notevoli (finiti, discreti, non amenabili, sofici).
Per quanto riguarda il caso finito siamo interessati principalmente a rappresentazioni di ampliamenti di gruppi, in particolare di prodotti corona, e di gruppi lineari su campi finiti, studiati tramite le loro azioni su strutture geometriche quali alberi e varietà algebriche. Ci interessano anche proprietà spettrali di varie nozioni di prodotti di grafi, di successioni crescenti di grafi regolari finiti, in relazione al concetto di espansore, che ha notevoli applicazioni all'informatica e alla teoria dei codici.
Intendiamo poi approfondire lo studio di prodotti di grafi anche da altri punti di vista: proprietà spettrali, passeggiate aleatorie, gruppi di automorfismi, legame con prodotti corona di gruppi, studio di indici topologici basati sul grado e sulle distanze, e.g. l'indice di Wiener, che trovano numerose applicazioni in Chimica matematica.
Infine, intendiamo sviluppare Teoremi di surgiuntività per sistemi dinamici algebrici e geometrici.
Il progetto che presentiamo è di natura prevalentemente teorica ma ha potenzialità applicative a discipline esterne alla matematica quali la fisica teorica e le scienze informatiche. Esso si basa su una consolidata letteratura scientifica in aree di grande interesse della Matematica quali le Algebre di Operatori, l'Analisi Armonica, la Teoria dei Gruppi e la Matematica Discreta. A tali discipline i proponenti hanno contribuito in maniera significativa negli ultimi anni (fatto testimoniato dalle rispettive produzioni scientifiche). Tutti i temi affrontati sono di rilevanza internazionale, e questo testimonia il carattere innovativo di questi studi e la qualità dei nostri contributi. L'esperienza maturata e il congruo numero di pubblicazioni su riviste di alto livello garantiscono la potenzialità di realizzare un avanzamento delle conoscenze rispetto allo stato dell'arte, nel solco dei risultati conseguiti in passato. Infatti parte del lavoro sarà basato sulla continuazione di attività in corso, che risultano ben avviate ma presentano ancora ampi margini di avanzamento, ma è pure previsto che vengano attivati nuovi filoni di ricerca, che arricchiscono il panorama complessivo.
Per testimoniare le potenzialità del progetto ricordiamo alcune attività recenti, che ancora offrono numerosi spunti e linee guida per il futuro.
Studio di endomorfismi e automorfismi delle algebre di Cuntz, da molteplici punti di vista: struttura globale dei gruppo degli automorfismi e degli automorfismi esterni, aspetti combinatorici e legami con strutture discrete quali alberi con radice, relazioni con la teoria ergodica/dinamica simbolica, coniugazione di sottoalgebre abeliane massimali, costruzione di endomorfismi esotici.
Analisi di Fourier in algebre distorte di gruppo e in prodotti incrociati; applicazioni allo studio di proprietà strutturali di queste algebre, ad esempio proprietà asintotiche quali l'amenabilità e varie forme di approssimabilità, struttura degli ideali e caratterizzazioni dei gruppi C*- semplici, moltiplicatori completamente limitati/positivi e funzioni di tipo positivo.
Aspetti geometrici della struttura di superselezione di reti di algebre di von Neumann, nel limite di scala e in teorie conformi chirali. Aspetti categoriali della geometria non commutativa, categorificazione orizzontale e verticale.
Studio delle teorie di campo conforme, nell'approccio algebrico, dove un ruolo innovativo è associato all'algebra di Zhu, potenzialmente utile per trovare una dimostrazione diretta della teoria di Kazhdan-Lusztig-Finkelberg di collegamento tra categorie di rappresentazioni semisemplici tra gruppi quantistici alle radici di 1 e di algebre di vertice affine e alla sua struttura wqh che stiamo introducendo. Un ruolo innovativo è l'uso della nozione di dimensione debole per il problema dell'esistenza e unicità delle strutture unitarie su categorie tensoriali semisemplici.
Studio dei gruppi quantistici compatti, e.g. tutti i gruppi di Lie classici, duali di gruppi discreti arbitrari ed esempi liberi, deformazioni quantistiche che potenzialmente estende ai gruppi quantistici discreti il teorema di Gromov sulla crescita polinomiale dei gruppi discreti e la dimensione topologica.
Studio delle coppie di Gelfand e delle loro generalizzazioni. Studio della teoria delle rappresentazioni di ampliamenti di gruppi finiti. Studio della teoria delle rappresentazioni di gruppi che agiscono su alberi. Studio della teoria delle rappresentazioni dei gruppi lineari finiti.
Sviluppo di un approccio di tipo Fourier ai gain graph su gruppi arbitrari che ci permetta di trasformare in matrice Hermitiana la matrice di adiacenza Questo approccio è innovativo e apre un vasto scenario da esplorare (matrici di adiacenza, Laplaciani, caratterizzazioni di proprietà geometriche tramite lo spettro).
I gruppi autosimilari la cui azione vogliamo investigare sono stati da noi definiti con un approccio nuovo e originale, da un lato, ma contengono come casi particolari alcuni gruppi autosimilari noti in letteratura per le loro proprietà esotiche, il che rende concreta la possibilità di costruire nuovi importanti esempi di gruppi e grafi autosimilari che abbiano notevoli proprietà (e.g., crescita, spettro, gruppo di automorfismi). Inoltre molto promettente risulta essere la connessione con i gruppi poly-context-free e la teoria dei linguaggi, che può dare vita ad interessanti spunti di ricerca non ancora esplorati in questo ambito.
Studio degli automi cellulari: una domanda di Gromov chiedeva se il teorema di Garden of Eden e la surgiuntività si potessero "generalizzare a sistemi dinamici di tipo iperbolico". Diverse nozioni di omoclinicità nel senso di Poincaré, proprietà di Markov topologica, specificazione, espansività, ed entropia sofica svolgono un ruolo fondamentale per determinare tale generalizzazione.