Le algebre di operatori non commutative costituiscono il tema portante di questo progetto di ricerca. Tutti i componenti di questo progetto di ricerca utilizzano le algebre di operatori con lo scopo di investigare problemi matematici e di fisica teorica di varia natura, fra i quali:
-gruppoidi quantistici in ambito C* rilevanti per le categorie dei modelli
di Wess-Zumino-Witten
- studio degli invarianti primari e secondari di operatori ellittici su varieta' foliate, rivestimenti di Galois e spazi singolari, nell'ambito della geometria differenziale non commutativa;
Il primo punto trae origine dalla formulazione algebrica della teoria dei campi quantistici di Doplicher-Haag-Roberts (DHR), e dalla dualita' astratta per gruppi compatti di Doplicher e Roberts '90.
I modelli WZW sono modelli importanti nella CFT studiati indipendentemente nel contesto dei net conformi alla DHR e delle algebre di vertice, un contesto puramente algebrico sviluppato da Huang e Lepowski. Il fine di questo filone di ricerca e' di affrontare il difficile problema aperto del confronto tra questi due approcci coinvolgendo anche altri esperti nella fisica teorica, Prof. Sebastiano Carpi, e teoria di Lie (Pinzari, Ciamprone)
Il secondo punto espande un filone di ricerca iniziato circa 30 anni fa da Alain Connes ma che e' a tuttoggi un attivissimo campo di ricerca anche in relazione ad alcune sue importanti applicazioni alla fisica teorica (modello standard). L'idea e' di decrivere spazi altamenti singolari, come ad esempio lo spazio delle foglie di una foliazione, tramite algebre non-commutative; queste algebre sostituiscono
l'algebra delle funzioni continue su questi spazi (Piazza)
Altri argomenti di ricerca:
- Studio della dimensione topologica dei gruppi quantistici compatti (Pinzari)
-Strutture di n-algebre sull¿omologia ciclica di gruppoidi quantici (Kowalzig)
-Settori solitonici per il net di Virasoro (Iovieno)
Progetto n. 1) e n. 2) Lo scopo innovativo e` duplice: Come menzionato nella sezione di inquadramento, l'approccio algebrico alla teoria dei campi quantistici e CFT (Haag-Kastler, Doplicher-Haag-Roberts, Fredenhagen-Rehren-Schroer, Wassermann) porta alla costruzione di categorie tensoriali C* con simmetrie unitarie del gruppo delle trecce, e si cerca di costruire una struttura gruppale che agisca da gruppo di gauge di seconda specie. Le attuali proposte sono insoddisfacenti a questo fine, poiché' nel caso importante dei modelli di Wess-Zumino-Witten dovute a Moore e Seiberg, 1989, per grandi valori del `livello', esse non approssimano il gruppo di Lie di partenza. Il nostro gruppo, se di successo anche per i tipi BCD, avra` questa proprietà` approssimante per il metodo con cui e` stato costruito. La potenzialità` prevista e` quella di poter sviluppare la costruzione dell'algebra dei campi a partire da quella delle osservabili, in due o tre dimensioni dello spazio-tempo. Il secondo scopo del nostro approccio e` di chiarire e contribuire al problema di equivalenza tra le due categorie della CFT (VOA e net conformi) mediante l'avanzamento dello studio del funtore di Wenzl per SU(N), alla luce del lavoro Ciamprone-Pinzari che ne ha svelato nuovi aspetti tensoriali mai emersi prima sin dalla sua introduzione, nel 1998.
Progetto n. 3). La classe dei gruppi quantistici compatti e` estremamente ampia, essa contiene al suo interno i gruppi di Lie classici, ma anche duali di gruppi discreti arbitrari ed esempi estremamente liberi che sono stati scoperti da Wang, Van Daele, Banica negli ultimi decenni. Un problema molto studiato e` quello di studiare proprietà` geometriche di essi, ad esempio terne spettrali di Connes, selezionando classi per le quali la teoria classica si estende. A tal fine, e` importante studiare l'analogo quantistico del quinto problema di Hilbert, che afferma che un gruppo di Lie e` determinato tra i gruppi topologici dalla sua dimensione e proprietà` di connessione. Il progetto n.2 riferisce ad uno studio della dimensione topologica, la cui nozione e` stata introdotta nei nostri
lavori citati. Esso ha la potenzialita` di estendere ai gruppi quantistici discreti il complesso teorema di Gromov del 1981 sulla
crescita polinomiale dei gruppi discreti mediante l'uso delle categorie tensoriali.
I progetti n. 4), 5, 6) e 7) sono tutti incentrati in un modo o nell'altro intorno alla nozione di invariate rho noncommutativo per un operatore di tipo Dirac. L'invariante rho e' un invariante secondario, che e' interessante quando l'invariante primario dell'operatore, e cioè' l'indice, e' uguale a zero. Gli invarianti primari sono stati ampiamente investigati negli anni passati con applicazioni geometriche molto importanti. Lo studio degli invarianti secondari e' relativamente recente e questi quattro progetti vogliono tutti essere un contributo in questa direzione. Negli ultimi anni gli invarianti rho e piu' in generale le classi rho in opportuni gruppi di K-teoria di algebre C*, si sono rilevati degli strumenti fondamentali per teoremi di classificazione in geometria. L'idea dietro tutti questi progetti di Piazza (con collaboratori) e' l'uso di tecniche analitiche e più precisamente microanalitiche: pensiamo, grazie anche ad una lunga storia di risultati positivi, che l'uso di queste tecniche costituisca lo strumento chiave ed originale rispetto a gruppi di ricerca, nel mondo, che lavorano in questo campo. Le tecniche microanalitiche, iniziate da Richard Melrose (MIT) molti anni fa, dovrebbero quindi permettere un avanzamento significativo in questa area di ricerca.
Progetto n. 8) La (co)omologia ciclica dei gruppoidi quantici (algebroidi di Hopf) che generalizza simultaneamente le varie teorie rilevanti di (co)omologia in algebra, teoria di gruppi/gruppoidi/algebre di Lie nonché geometria differenziale, fornisce informazioni sulla presenza di strutture superiori (algebre di Gerstenhaber o Batalin-Vilkovisky, più generale strutture di n-algebre nel senso di Kontsevich e Lurie) sui questi gruppi di (co)omologia. Vorremmo trovare in quest¿ambito nuove espressioni esplicite recursive per le omotopie che costituiscono un¿eventuale struttura di n-algebra sulle cocatene, ovvero i cosiddetti ¿n-prodotti nel senso di Steenrod.