Il progetto si propone di continuare lo studio delle simmetrie di varie strutture dell'analisi e della geometria: C*-algebre, grafi, alberi, geometrie discrete, campi quantistici. Lo studio del gruppo di automorfismi di C*-algebre associate a strutture algebriche/geometriche come gruppi, semigruppi, bimoduli e grafi offre spunti di notevole interesse. L'azione di gruppi su grafi ha interesse sia dal punto di vista combinatorio, sia della teoria delle rappresentazionie delle associate funzioni sferiche, sia per applicazioni in probabilità (e.g. a catene di Markov) e riguarda varie famiglie di gruppi notevoli (finiti, discreti, non amenabili, sofici). Per quanto riguarda il caso finito siamo interessati principalmente a rappresentazioni di prodotti corona di gruppi simmetrici e di gruppi lineari su campi finiti, visti tramite la loro azione su strutture geometriche quali alberi e varietà algebriche. In un'altra direzione di ricerca nell'ambito dello studio di Gruppi quantistici e teorie di campo conforme intendiamo sviluppare una teoria di algebre quasi Hopf deboli per lo studio di varie questioni che emergono nelle principali teorie di campo conforme come ad esempio l'unitarizzabilità oppure l'equivalenza di strutture tensoriali. Ci interessano anche proprietà spettrali di prodotti zigzag di grafi, di successioni crescenti di grafi regolari finiti, in relazione al concetto di espansore, che ha notevoli applicazioni sia sul piano puramente combinatorio, come anche all'informatica e alla teoria dei codici. Intendiamo poi approfondire lo studio di prodotti corona di grafi da molteplici punti di vista: proprietà spettrali e passeggiate aleatorie, gruppi di automorfismi, legame con prodotti corona di gruppi, studio di indici topologici basati sul grado e sulle distanze, e.g. l'indice di Wiener, che trovano numerose applicazioni in Chimica matematica. Infine, intendiamo sviluppare Teoremi di surgiuntività per sistemi dinamici.
Il progetto di ricerca, di natura puramente teorica (con risvolti applicativi a discipline esterne alla matematica quali la fisica teorica e le scienze informatiche), si basa su una consolidata letteratura scientifica in aree di grande interesse della Matematica quali le Algebre di Operatori e l'Analisi Armonica, a cui i proponenti hanno contribuito in maniera significativa negli ultimi anni (come si evince dalle rispettive produzioni scientifiche). Tutti i temi affrontati sono di rilevanza internazionale, e questo testimonia il carattere innovativo di questi studi e la qualità dei nostri contributi. L'esperienza maturata e il congruo numero di pubblicazioni su riviste di alto livello garantiscono la potenzialità di realizzare un avanzamento delle conoscenze rispetto allo stato dell'arte, nel solco dei risultati conseguiti in passato. Infatti parte del lavoro sarà basato sulla continuazione di attività in corso, che risultano ben avviate ma presentano ancora ampi margini di avanzamento, ma è pure previsto che vengano attivati nuovi filoni di ricerca, che arricchiscono il panorama complessivo.
Per testimoniare le potenzialità del gruppo ricordiamo alcune attività recenti, che ancora offrono numerosi spunti e linee guida per il futuro.
Studio di endomorfismi e automorfismi delle algebre di Cuntz, da molteplici punti di vista: struttura globale dei gruppo degli automorfismi e degli automorfismi esterni, aspetti combinatorici e legami con strutture discrete quali alberi con radice, relazioni con la teoria ergodica/dinamica simbolica, coniugazione di sottoalgebre abeliane massimali, costruzione di endomorfismi esotici.
Analisi di Fourier in algebre distorte di gruppo e in prodotti incrociati; applicazioni allo studio di proprietà strutturali di queste algebre, e.g. proprietà asintotiche quali l'amenabilità e varie forme di approssimabilità, struttura degli ideali e caratterizzazioni dei gruppi C*- semplici, moltiplicatori completamente limitati/positivi e funzioni di tipo positivo.
Aspetti geometrici della struttura di superselezione di reti di algebre di von Neumann, nel limite di scala e in teorie conformi chirali. Aspetti categoriali della geometria non commutativa, categorificazione orizzontale e verticale.
Studio delle teorie di campo conforme, nell'approccio algebrico, dove un ruolo innovativo Ë associato all'algebra di Zhu, potenzialmente utile per trovare una dimostrazione diretta della teoria di Kazhdan-Lusztig-Finkelberg di collegamento tra categorie di rappresentazioni semisemplici tra gruppi quantistici alle radici di 1 e di algebre di vertice affine e alla sua struttura wqh che stiamo introducendo. Un ruolo innovativo e` l'uso della nozione di dimensione debole per il problema dell'esistenza e unicita` delle strutture unitarie su categorie tensoriali semisemplici.
Studio dei gruppi quantistici compatti, e.g. tutti i gruppi di Lie classici,
duali di gruppi discreti arbitrari ed esempi liberi, deformazioni quantistiche che potenzialmente estende ai gruppi quantistici discreti il teorema di Gromov sulla crescita polinomiale dei gruppi discreti e la dimensione topologica.
Nella letteratura esistente sono stati studiati gain graph su gruppi particolari (grafi segnati o con funzione gain a valori nei complessi di modulo unitario). Un approccio di tipo Fourier ci permette di trasformare in matrice Hermitiana la matrice di adiacenza di un gain graph su un gruppo arbitrario. Questo approccio è innovativo e apre un vasto scenario da esplorare (matrici di adiacenza, Laplaciani, caratterizzazioni di proprietà geometriche tramite lo spettro).
I gruppi autosimilari la cui azione vogliamo investigare sono stati da noi
definiti con un approccio nuovo, e contengono come casi particolari alcuni
gruppi autosimilari noti in letteratura per le loro proprietà esotiche, il che rende concreta la possibilità di costruire nuovi importanti esempi di gruppi e grafi autosimilari che abbiano notevoli proprietà (e.g. crescita, spettro, gruppo di automorfismi).
Studio dell'indice di Frobenius-Schur, in connessione con le coppie di Gelfand e la teoria delle funzioni sferiche. In tale settore abbiamo generalizzato un
teorema di Mackey sulla restrizione dei prodotti tensoriali di rappresentazioni irriducibili estendendolo al caso in cui si restringe da un gruppo ad un sottogruppo, dando un criterio necessario e sufficiente affinché tale decomposizione sia priva di molteplicità.
Studio delle funzioni sferiche per una generica rappresentazione indotta, anche nel caso in cui tal rappresentazione si decomponga con molteplicità.
Studio degli automi cellulari: una domanda di Gromov chiedeva se il
teorema di Garden of Eden e la surgiuntivita' si potessero
"generalizzare a sistemi dinamici di tipo iperbolico". Diverse nozioni
di omoclinicita' nel senso di Poincaré, proprietà di Markov topologica, specificazione, espansività, ed entropia sofica svolgono un ruolo fondamentale per determinare tale generalizzazione.