Il gruppo di ricerca riunisce varie competenze di tipo numerico con l'obiettivo di affrontare lo studio di alcuni modelli differenziali di tipo evolutivo di notevole interesse in vari ambiti applicativi, quali la teoria del controllo ottimo, i giochi differenziali, e i modelli di traffico. Inoltre si studierà l'analisi di reti complesse e sistemi iperbolici su reti. Sul piano metodologico, nelle ricerche che si intendono intraprendere faremo riferimento alle soluzioni deboli nel senso di viscosità per equazioni di tipo Hamilton-Jacobi del primo ordine e del secondo ordine ed alle soluzioni deboli nel senso delle distribuzioni per i problemi iperbolici/parabolici.
Sottolineiamo che le equazioni e gli ambiti modellistici oggetto di questa ricerca offrono spunti e motivazioni per progressi e sviluppi in settori matematici di attualità come l'analisi della convergenza e della stabilità per i metodi di ordine alto per equazioni non lineari, la conservazione delle proprietà strutturali delle soluzioni, particolarmente nell'approssimazione di soluzioni discontinue, lo sviluppo di algoritmi efficienti. In tutti questi ambiti, un punto chiave è la competenza del gruppo in ambito numerico e modellistico, che permette di applicare tecniche matematiche a problemi con una struttura comune, ma ambiti applicativi profondamente diversi.
Il progetto si articola in una parte metodologica, nella quale vengono sviluppati gli strumenti analitici e di approssimazione numerica utilizzati poi in vari ambiti applicativi.
Sinteticamente:
1. PARTE METODOLOGICA
1.1 Metodi numerici per equazioni e sistemi di Hamilton-Jacobi
1.2 Metodi numerici per l'analisi di reti complesse
1.3 Metodi numerici per leggi di bilancio e problemi Low-Mach
2. PARTE APPLICATIVA
2.1 Controllo ottimo, Mean field games e applicazioni
2.2 Modelli di traffico: impatto sui flussi di traffico di veicoli a guida autonoma; traffico misto su strade con diverse corsie.
Questo progetto riunisce competenze diverse per lo studio di problemi evolutivi che si caratterizzano per la presenza di termini nonlineari e/o per la presenza di termini non locali. Qui di seguito, un elenco dell¿impatto che gli argomenti di ricerca considerati in questo progetto potrebbe avere sia sullo studio dei metodi dell¿analisi numerica, che in ambito applicativo.
- In letteratura, esistono pochissimi risultati di convergenza `fin sul bordo¿ di schemi numerici per problemi parabolici su domini limitati. Ottenere quindi questo tipo di risultati di convergenza è interessante ed innovativo non solo per gli schemi di tipo SL, ma in generale per l¿approssimazione numerica di problemi di controllo ottimo deterministico e stocastico.
- Gli schemi di tipo Semi-Lagrangiano applicati ai modelli MFG hanno come principale vantaggio rispetto ad altri schemi più classici, come ad esempio gli schemi alle differenze finite, quello di poter essere applicati a problemi di tipo MFG del primo ordine e del secondo ordine degenere, le cui soluzioni hanno una regolarità molto più debole rispetto ai modelli del secondo ordine. Per tali problemi infatti non esistono attualmente schemi alle differenze finite disponibili. La novità di questa ricerca è dunque sia nella costruzione di metodi numerici per problemi MFG a bassa regolarità, sia lo studio della loro convergenza..
- La costruzione di algoritmi di campionamento, per approssimare matrici o tensori di adiacenza per reti complesse e la conseguente realizzazione di metodi ad hoc atti a fornire a basso costo computazionale un ranking approssimato dei nodi più importanti della rete, è di sicuro interesse per la comunità scientifica. Lo studio dell'impatto spettrale di una particolare connessione della rete, e quindi della eventuale rimozione o riduzione del peso dell¿arco, è un tema di grande attualità che riguarda l¿analisi della robustezza di una rete contro, ad esempio, un attacco virale.
- La proposta di schemi in grado di trattare contemporaneamente sia il limite a basso numero di Mach, che la preservazione di stati di equilibrio in leggi di bilancio è una novità nella letteratura sulla costruzione di metodi numerici per leggi di bilancio di tipo iperbolico.
Inoltre, esistono diversi altri campi nei quali le tecniche, che qui vengono proposte per il flusso di gas in presenza di campi gravitazionali, possono essere applicate. Per esempio, il movimento dell¿acqua in fiumi o canali di tipo shallow water presenta problematiche simili.
- Lo studio dell¿impatto della diffusione di auto a guida autonoma sul traffico veicolare è oggetto di studio da alcuni anni, ma non è stato ancora studiato dal punto di vista cinetico per indagare la natura e l¿intensità dell¿effetto di attenuazione delle instabilità che ci si aspetta con l¿introduzione di auto automatizzate.
- La costruzione di modelli matematici per rappresentare il flusso di traffico misto su strade composte di diverse corsie è un campo completamente nuovo. Questi studi mirano a produrre modelli che possano essere studiati anche con tecniche di tipo controllistico, utilizzando competenze presenti nell¿unità proponente. Il risultato del controllo potrebbe da un lato influenzare le scelte normative che dovranno essere introdotte prima che le auto a guida autonoma si diffondano in maniera significativa sulle strade, dall¿altro, fornire strumenti in tempo reale per l¿ottimizzazione dell¿uso delle autostrade.
Organizzazione Seminari
Si prevede di utilizzare parte dei fondi per organizzare un workshop/scuola, dedicato ai temi trattati.
Proseguirà come ogni anno il ciclo di seminari "Modellistica Differenziale Numerica" attivo da più di dieci anni presso il Dipartimento di Matematica (info alla pagina WEB www.mat.uniroma1.it/ricerca/seminari/mdn).