Il gruppo di ricerca riunisce competenze di tipo analitico-numerico con l'obiettivo di affrontare lo studio di alcuni modelli differenziali nonlineari di notevole interesse in vari ambiti quali la teoria del controllo ottimo, i giochi differenziali, la biomedicina, lo studio dei materiali granulari ed il trattamento delle immagini.
Sul piano metodologico, nelle ricerche che si intendono intraprendere faremo riferimento alle soluzioni deboli nel senso di viscosità per equazioni di tipo Hamilton-Jacobi del primo ordine e del secondo ordine ed alle soluzioni deboli entropiche nel senso delle distribuzioni per i problemi iperbolici.
E' importante sottolineare che le equazioni e gli ambiti modellistici oggetto di questa ricerca, oltre ad essere terreno di applicazione per alcuni metodi teorici e numerici già sviluppati, offrono spunti e motivazioni per progressi e sviluppi in settori matematici di attualità
come l'analisi della convergenza e della stabilità per i metodi di ordine alto per equazioni non lineari, l'approssimazione di soluzioni discontinue, lo sviluppo di algoritmi paralleli per la decomposizione di dominio.
Il progetto si articola in una parte metodologica nella quale vengono sviluppati gli strumenti analitici e di approssimazione generali che vengono utilizzati in vari ambiti applicativi, e in una parte più strettamente applicativa che riguarda lo studio analitico e numerico di vari modelli differenziali.
I punti del progetto sono i seguenti:
1. PARTE METODOLOGICA
1.1 Metodi analitici e numerici per equazioni di Hamilton-Jacobi
1.2 Metodi analitici e numerici per le leggi di conservazione
ed equazioni integro-differenziali
1.3 Metodi analitici e numerici per problemi propagazione ondosa
2. PARTE APPLICATIVA
2.1 Controllo e giochi differenziali
2.2 Materiali granulari
2.3 Trattamento delle immagini
2.4 Modelli matematici per la biomedicina
Questo progetto riunisce competenze diverse per lo studio di problemi evolutivi che si caratterizzano per la presenza di termini nonlineari e/o per la presenza di termini non locali. Da questo punto di vista le tecniche proposte si basano su risultati recenti nell'ambito delle equazioni alle derivate parziali non lineari di tipo iperbolico e parabolico e della loro approssimazione numerica. Per la parte metodologica, il progetto si concentra sulle equazioni di Hamilton-Jacobi nell'ambito della teoria delle soluzioni viscosità, sui sistemi iperbolici e sulle equazioni dispersive e paraboliche degeneri. E' interessante osservare che, pur in presenza di risultati numerici significativi in varie applicazioni, manca ancora una teoria completa della convergenza per gli schemi di ordine alto che è appunto oggetto di questa ricerca. Questi temi sono tuttora al centro di una intensa attività in ambito internazionale come è testimoniato dal finanziamento di alcuni progetti ERC e di network europei.
Per quanto riguarda le applicazioni, i temi proposti sono molto innovativi e si collocano alla frontiera delle ricerche attuali soprattutto per quanto riguarda le applicazioni in ambito socio-economico (mean field games, modelli di traffico su reti, giochi differenziali con molti agenti), biomedico (crescita tumorale e strategie di controllo e cura) ed ai problemi di propagazione ondosa (scattering).
Il gruppo di ricerca, con le sue varie competenze, dà garanzie di successo su molti di questi temi.
Workshop/Scuola sul trattamento delle Immagini
Previsto come evento satellite della conferenza SIAM Conference on Imaging Science (Bologna, 5-8 Giugno 2018) http://www.siam.org/meetings/is18/
Seminari
Proseguirà come ogni anno il ciclo di seminari "Modellistica Differenziale Numerica" attivo da più di dieci anni presso il Dipartimento di Matematica (info alla pagina WEB www.mat.uniroma1.it/ricerca/seminari/mdn).
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