L'analisi geometrica su varietà differenziali e su spazi singolari è una branca fondamentale della geometria differenziale che ha permesso enormi progressi in molti campi, dalla topologia delle varietà alla geometria riemanniana, allo studio dei gruppi di Lie e dei loro sottogruppi discreti.
Il suo carattere multidisciplinare è ben illustrato dai contributi che in essa confluiscono da molte discipline, quali l'analisi funzionale e la fisica matematica.
Per esempio, la geometria spettrale studia le relazioni tra lo spettro di vari operatori differenziali e la struttura geometrica della varietà; la teoria dell'indice li mette in relazione con invarianti topologici fondamentali quali la segnatura e la coomologia; e la teoria della convergenza produce omeomorfismi o diffeomorfismi tra varietà dalla conoscenza della prossimità di tali invarianti.
Nel progetto, si affrontano temi centrali e tra loro interconnessi di analisi geometrica, in particolare:
Progetto 1: lo studio della struttura infinitesimale e asintotica di spazi CAT(k), "packed" o a entropia limitata: si tratta di una vasta classe di spazi, eventualmente singolari, nella quale rientrano varietà a curvatura limitata, spazi stratificati a geometria limitata, CW-complessi ecc.;
Progetto 2: la teoria della convergenza secondo Gromov-Hausdorff per spazi CAT(k);
Progetto 3: stime degli autovalori di operatori differenziali (in particolare, del Laplaciano con campo magnetico) su domini del piano e superfici di Riemann;
Progetto 4: la variazione prima del funzionale "heat content" e della traccia del nucleo del calore, con possibile classificazione delle varietà critiche;
Progetto 5: la coomologia degli spazi stratificati, in particolare una generalizzazione del teorema di isomorfismo di Dodziuk tra i moduli di coomologia singolare, di Hodge e di de Rham in tali spazi;
Progetto 6: la teoria dell'indice su quozienti simplettici singolari nell'ambito della quantizzazione geometrica e riduzione simplettica.
I progetti di ricerca proposti riguardano ambiti in cui c'è una forte competizione internazionale (come si evince dalle referenze citate).
Ciononostante, tutti i partecipanti del progetto hanno, ciascuno nel proprio ambito, già contribuito ad avanzamenti importanti e recenti sugli argomenti sopra esposti, come testimoniano per esempio i lavori 1. e 6. del proponente, i lavori 13. e 14. di Savo, i lavori 7. e 9. di Piazza ed 1. e 2. di Bei.
Tutti i partecipanti, inoltre, hanno solide relazioni scientifiche con esperti internazionali della ricerche proposte. Per citare solo qualche matematico di fama internazionale coinvolto nei progetti: G.Besson (uno degli estensori della celebre dimostrazione delle congetture di Poincaré e geometrizzazione, cp. [Bes] e [BBesBP]), R. Mazzeo (esperto in EDP lineari e nonlineari, teoria di Hodge e dell'indice), S. Gallot (esperto di geometria spettrale e problemi isoperimetrici in geometria riemanniana) ecc. Si veda la sezione "eventuali altri partner esterni" per una lista completa e maggiori dettagli.
Sambusetti e Piazza hanno inoltre gia' inquadrato un buon numero di dottorandi presso il dipartimento di matematica (al momento Sambusetti ne ha 2 e Piazza 1. In questo senso si giustifica anche la richiesta di un assegno di ricerca, considerata la quantità di spin-off possibili dai progetti proposti.
Per quanto riguarda i progetti 1 e 2, lo studio della struttura locale e delle proprietà globali degli spazi CAT(k) è iniziato a fine anni 90. I lavori fondanti della scuola tedesca (W. Ballmann, P. Eberlein, U.Hamenstadt, G. Knieper, V. Schroeder ecc.) per estendere la teoria delle varietà a curvatura strettamente negativa a quelle di curvatura non-positiva, e quelli dei matematici di scuola russa (A.D. Alexandrov, V. Zalgaller, M. Gromov, Yu. D. Burago, G. Perelman ecc) sulle nozioni sintetiche di curvatura hanno influenzato la generazione attuale di geometri metrico-differenziali. Il primo dei lavori in collaborazione di Sambusetti [BCGS] con Besson-Courtois-Gallot ed il progetto 2 sono fortemente ispirati da tali lavori.
Più in particolare, riguardo al progetto 1 su spazi CAT(k) "packed", il lavoro [BGT] di E.Breuillard, B.Green e T.Tao (medaglia field nel 2006), sviluppato dalle idee di Gromov sui gruppi a crescita polinomiale, hanno ampiamente mostrato le potenzialità della nozione di packing quale traduzione sintetica della nozione di curvatura limitata dal basso per spazi singolari. È senz'altro possibile affermare che lo studio degli spazi singolari, con tecniche mutuate dalla geometria riemanniana, è un trend della geometria differenziale contemporanea in netta crescita, ed ogni significativo avanzamento in questo campo sarebbe ben accolto dalla comunità scientifica.
I progetti 3 e 4 di Savo esplorano un ambito quasi del tutto nuovo e come tale con forti potenzialità innovative. Il lavoro di Colbois e Savo [CS] fornisce al momento l'unica stima geometrica dal basso del primo autovalore del Laplaciano con campo magnetico nullo e potenziale armonico. L'estensione ai domini piani con topologia (numero dei buchi) arbitraria e alle superfici chiuse con genere arbitrario sarebbe di notevole interesse in geometria spettrale.
È da notare che, mentre per l'operatore di Laplace-Beltrami classico stime dello spettro in funzione del genere di una superficie rappresentano risultati ormai classici, l'estensione al caso di un potenziale armonico darebbe informazioni più precise e interessanti: in altre parole, oltre al primo numero di Betti, si potrebbe "ascoltare" anche l'insieme dei flussi della data forma sulle curve chiuse della superficie.
Il risultato che ci si attende invece dal progetto 4 è una classificazione completa dei domini critici del funzionale "heat content": precisamente, ci si aspetta che la criticità caratterizzi l'esistenza di una foliazione isoparametrica del dominio; a tale scopo, sembrano promettenti le nuove tecniche sviluppate dallo stesso Savo in [S2].
Anche per quanto riguarda i progetti 5 e 6 Il quadro delle proprietà analitico-geometriche degli spazi stratificati è ancora ampiamente incompleto. Prima del lavoro pionieristico [PV] di Piazza e Vertman, ad esempio, non c'era alcuno studio dettagliato della segnatura di Hodge e della segnatura di deRham di uno spazio di Witt o del suo rivestimento universale. La ricerca proposta aggiungerebbe un tassello importante all¿attuale conoscenza degli spazi stratificati, anche per le sue potenziali applicazioni in altri campi della matematica.