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Problemi ergodici per EDP nonlineari
La ricerca proposta su approssimazione ergodica di equazioni di HJ ha come tematica soggiacente e di interesse indipendente quella di trovare una formulazione ad hoc della teoria di Aubry-Mather in presenza di una Hamiltoniana periodica perturbata con un potenziale a supporto compatto. Si tratta di un modello già considerato in [II] in collegamento con un differente problema asintotico. La nozione di insieme di Aubry su una varietà non compatta dipende fortemente dalla scelta delle sottosoluzioni che si considerano ammissibili. In questo caso, si tratterebbe di sviluppare la teoria per sottosoluzioni limitate. L'esistenza di soluzioni limitate della corrispondente equazione critica dovrebbe tradursi con la presenza di un insieme di Aubry non vuoto al finito o "all'infinito". La formulazione di una teoria di Aubry-Mather in ambienti non compatti è un dominio di ricerca ancora largamente inesplorato. Segnaliamo a questo proposito il lavoro [C01], in cui si propone una sorta di compattificazione dell'insieme di Aubry per varietà non compatte, e i contributi forniti dal proponente in collaborazione con A. Siconolfi in [DS1, DS2, DS3, DS4] volti a generalizzare la teoria di Aubry-Mather nel caso stazionario ergodico. Una comprensione più profonda dei fenomeni in gioco in questo modello periodico perturbato apparentemente più semplice potrebbe fornire indicazioni importanti per una estensione della teoria di Aubry-Mather a casi più generali.

Per quanto riguarda la linea di ricerca su problemi ergodici per operatori del secondo ordine completamente nonlineari, si osserva che, dal punto di vista applicativo, le equazioni considerate emergono in problemi di controllo stocastico. Il caso completamente non lineare e degenere/singolare consente l'analisi di sistemi controllati governati da diffusioni non lineari, possibilmente degeneri o singolari, in cui il controllo ottimo è di tipo feedback e dipende dal gradiente della funzione valore. Dal punto di vista teorico, la costante ergodica gioca un ruolo analogo a quello degli autovalori principali per gli operatori che intervengono nell¿equazione. L¿unicità, a meno di costanti additive, della funzione ergodica risulta pertanto intimamente legata alla semplicità degli autovalori principali, problema ancora solo parzialmente risolto vedi [BD], così¿ come la regolarità della funzione ergodica corrisponde alla regolarità delle autofunzioni principali. I risultati ottenuti contribuirebbero quindi alla teoria della regolarità e alla teoria spettrale per operatori completamente nonlineari ellittici degeneri.

Leggi di conservazione con dati misure
La parte innovativa del progetto sta nell'inquadrare una formulazione per leggi di conservazione a valori misura nel contesto più generale possibile in cui non ci siano limitazioni per i flussi scelti e per le misure considerate. Passare da misure non negative a misure generali è un passo non banale in quanto è necessario capire l'interazione tra le parti singolari di segno diverso oltre ad estendere le condizioni di compatibiltà che devono essere soddisfatte sul supporto di tali misure.
Un'altra parte innovativa consiste nel dare una buona formulazione per il correlato problema di HJ evolutivo nel contesto di soluzioni discontinue. Il problema correlato del metodo diretto tra soluzione entropica di Leggi di conservazione e soluzioni di viscosità per Hamilton-Jacobi è già interessante di per se.

Equazioni di HJ su network
Lo studio di problemi evolutivi su network è notevolmente più complesso del caso stazionario poichè le interfacce diventano unidimensionali, per la presenza delle variabile tempo, piuttosto che di dimensione zero. Come è noto in problemi di questo tipo la dimensione delle interfacce ha un impatto significativo sulla corrispondente difficoltà. Inoltre in tutti i lavori esistenti in letteratura i risultati di confronto sono ottenuti adattando, spesso con notevoli complicazioni, il metodo di Crandall-Lions. Il nostro approccio è invece completamente diverso.
Il tema dell'omogeneizzazione di equazioni di Hamilton-Jacobi su network è inesplorato a parte un contributo in [IM], relativo però ad una geometria particolarmente semplice, il cosiddetto network a petali. Per studiare geometrie più generali bisogna considerare i gruppi di omologia e coomologia del network. L'uso di tecniche coomologiche su network in relazione a problematiche EDP appare assai innovativo.
Un'altra applicazione rilevante dei risultati di omogeneizzazione è quella di fornire una base matematica alla Teoria di Realizzazione dei cristalli topologici, che è largamente usata in Cristallografia applicata, vedi [S].
L'unico contributo in letteratura su modelli MFG su networks è [CM]. Qui viene trattato il caso stazionario in presenza di una diffusione, che è diverso e più semplice del caso primo ordine evolutivo che si intende affrontare.