Lo scopo di questo progetto è l'indagine rigorosa delle proprietà macroscopiche di "sistemi complessi", in continuità con il progetto presentato lo scorso anno dagli stessi proponenti. Più precisamente, si vuole proseguire nello sviluppo di tecniche matematiche per studiare come le interazioni tra i componenti costitutivi di un sistema e le proprietà del mezzo in cui il sistema è immerso influiscano sui comportamenti collettivi emergenti. Tali tecniche sono basate sul calcolo delle variazioni, sulla teoria della misura, sulla teoria della probabilità e sulla statistica matematica. Le applicazioni di queste ricerche sono ampie e spaziano dall'ambito fisico (e.g., transizione superfluida), a quello biologico (e.g., auto-organizzazione di gruppi di organismi), a quello numerico (e.g., algoritmi per dinamica molecolare), a quello della scienza dei dati (e.g., capacità computazioni delle reti neurali).
Lo studio rigoroso dei modelli della fisica matematica e delle scienze applicate rappresenta un passaggio importante per la loro piena comprensione, chiarendo i limiti di applicabilità e le possibili estensioni. In particolare, le tematiche che vogliamo di affrontare rivestono un carattere decisamente innovativo, sia per le ricadute applicative che per lo sviluppo di metodi e teorie d'avanguardia.
Di seguito, delineiamo le principali prospettive di progresso.
A.1 Le macchine di Boltzmann costituiscono un modello paradigmatico del ML, tuttavia a loro trattazione rigorosa è limitata ad alcune regioni dello spazio dei parametri, dove è possibile sfruttare ipotesi (convessità dei potenziali, simmetria di replica, basso carico) che facilitano la trattazione. Ci proponiamo di estendere i metodi della meccanica statistica dei sistemi disordinati (e.g., stabilità stocastica, campi di cavità) [B, AABF] in modo da ottenere una soluzione rigorosa anche nei regimi finora esplorati solo a livello pseudo-empirico, per costruire un diagramma di fase che evidenzi le regioni dello spazio dei parametri in cui la macchina può apprendere con successo e permetta di inizializzare la macchina in uno stato ottimale con conseguente risparmio energetico.
A.2 Nel contesto della classificazione non supervisionata il rilevamento di anomalie riveste notevole importanza. I risultati teorici, sviluppati attraverso tecniche Bayesiane, verranno verificati su diversi insiemi di dati a disposizione, tra cui serie temporali multivariate provenienti da misure di variabili meteoclimatiche, sensori per il monitoraggio di apparecchiature (telemetrie satellitari), segnali ed immagini biomediche.
A.3 L'interesse nello sviluppare una solida definizione trasporto ottimale in ambito quantistico è duplice: da un lato si possono definire distanze tipo Monge-Kantorovich tra matrici densità di stati quantistici di particelle, dall'altro si possono definire tali distanze tra sistemi quantistici discreti (in particolare i qubit) adatte all'implementazione su quantum computer e alle applicazioni al ML quantistico.
B.1 Un possibile strumento di indagine per lo studio del gas di Bose, e dei modelli loop-soup in generale, si basa su una rappresentazione di sistemi di spin a simmetria continua e sulla dimostrazione di relative congetture; in particolare, ci proponiamo di dimostrare l'esistenza di una transizione di fase "sharp", la congettura di Polyakov e l'assenza di transizione di fase in presenza di un campo magnetico esterno arbitrariamente piccolo quando il numero di componenti degli spin è maggiore di 3.
B.2 Nonostante i numerosi studi della matrice di omogeneizzazione effettiva (e quindi della matrice di mobilità) la versione complessa per campi oscillanti nel tempo non è ancora stata studiata sistematicamente. D'altro canto, negli ultimi anni è emerso un grande interesse per i sistemi con campi oscillanti (e.g., [BCFG]) con numerose applicazioni fisiche e biologiche.
B.3 Ottenere una descrizione rigorosa dei meccanismi che regolano l'emergenza di strutture frattali in natura è un problema centrale nella letteratura matematica e fisica degli ultimi decenni. I modelli di Hastings-Levitov producono simulazioni sorprendentemente realistiche di tali strutture frattali e si sono dimostrati anche matematicamente trattabili [S, NST]. Ci proponiamo di dimostrare la transizione da regime ordinato a regime turbolento per questi modelli, uno dei principali problemi aperti del settore.
C.1 L'analisi quantitativa e rigorosa delle scale di tempo critiche, in cui emerge l'effetto delle perturbazioni stocastiche, è di notevole rilevanza per le applicazioni e verrà affrontata a partire da alcuni modelli paradigmatici tra cui l'equazione Bhatnagar-Gross-Krook per lo studio di regimi intermedi tra quello puramente cinetico e quello idrodinamico [BGK], le equazioni cinetiche non lineari di tipo McKean-Vlasov [M] e Cucker-Smale [CS], per lo studio del moto collettivo autorganizzato. Si vuole inoltre affrontare l'analisi del comportamento metastabile per l'equazione di Allen-Cahn stocastica [AC], che descrive la cinematica per la separazione di fase, nel limite di interfacce concentrate. Riguardo le grandi deviazioni, si vuole affrontarne lo studio per un modello paradigmatico di particelle con urti che conservano l'energia. In particolare ci si aspetta un fenomeno nuovo: con probabilità esponenzialmente piccola, e quindi significativa nel contesto di grandi deviazioni, esistono traiettorie in cui l'energia viene diminuita.
C.2 Ci proponiamo di studiare l'evoluzione della vorticità per l'equazione di Eulero in R^3 con simmetria assiale, nel caso in cui la vorticità iniziale è concentra in N piccole regioni molto distanti dall'asse di simmetria (anelli di vorticità) [CM, BCM]. Un'altra linea di ricerca riguarda la generalizzazione dell'equazione di Eulero (Modified Surface Quasi-Geostrophic) in due dimensioni, che trova applicazioni in geofisica e meteorologia [CGM].