La trasformata wavelet (WT), nata inizialmente per l'analisi di segnali, si è rivelata uno strumento estremamente versatile per la soluzione di vari problemi applicativi, quali l'estrazione di caratteristiche geometriche di un'immagine, la compressione di dati, la soluzione di problemi inversi. L'obiettivo del progetto è la costruzione di nuove basi multiscala e l'analisi delle proprietà di approssimazione della corrispondente WT. Nel progetto verrà dato spazio all'aspetto applicativo utilizzando la WT nell'ambito della fisica dei beni culturali, della fisica cosmica, delle neuroscienze. In particolare, gli obiettivi del progetto sono: i) l'utilizzo della WT per l'analisi di dati multispettrali di opere pittoriche per risalire al processo creativo dell'artista; ii) la costruzione di wavelet definite su varietà compatte per migliorare le proprietà di localizzazione della WT nel dominio dello spazio e della frequenza per analizzare la radiazione cosmica di fondo; iii) la soluzione del problema inverso della MEG/EEG imponendo vincoli di sparsità per ridurre la dimensionalità del problema della localizzazione di sorgenti neurali. La costruzione di famiglie di wavelet con proprietà di localizzazione specifiche, costruite a partire dai dati, sarà la chiave che permetterà di costruire metodi numerici disegnati per i problemi applicativi di nostro interesse. Pertanto, schemi di codifica, retrieval o estrazione di caratteristiche basati su tali rappresentazioni potranno essere più efficienti dei metodi già in uso, garantendo elaborazioni semplici e non costose dei dati e favorendo il loro uso in applicazioni real-time e su dispositivi portatili. Al progetto partecipano ricercatori con competenze in vari settori delle scienze applicate. Uno degli obiettivi del progetto consiste nell'integrare le competenze specifiche di ciascun componente allo scopo di individuare e mettere a punto gli strumenti matematici più adatti per raggiungere gli obiettivi indicati.
La definizione della base ottima per la rappresentazione di una funzione è un problema aperto e ben noto in letteratura. Infatti, le proprietà locali di una funzione (regolarità, contenuto spettrale, spettro di singolarità, etc.) sono difficilmente approssimabili in modo efficiente in un unico spazio di approssimazione e con un costo computazionale contenuto. Poiché la trasformata wavelet è in grado di fornire, da un lato, una rappresentazione compatta di una funzione sia nel tempo (o spazio) che nella frequenza, e, dall'altro, di caratterizzarne i punti di singolarità nel piano spazio-scala con un costo di calcolo molto basso, la costruzione di nuove basi di funzioni wavelet in grado di rappresentare le componenti significative di una funzione con pochi coefficienti non nulli effettuando, allo stesso tempo, un processo di ulteriore correlazione dei dati in base a informazioni a priori, è un argomento di ricerca di grande interesse. La costruzione di famiglie di wavelet con proprietà di localizzazione specifiche, costruite a partire dai dati, sarà la chiave che permetterà di costruire metodi numerici disegnati specificatamente per i problemi applicativi di nostro interesse. Pertanto, schemi di codifica, retrieval o estrazione di caratteristiche basati su tali rappresentazioni potranno essere più efficienti dei metodi già presenti in letteratura, garantendo elaborazioni semplici e non costose dei dati, favorendo il loro uso in applicazioni real-time anche su dispositivi portatili. Le trasformate multiscala adattive rivestono un ruolo fondamentale anche in applicazioni che prevedono acquisizioni multisensoriali. Infatti, l'uso crescente di acquisizioni di dati basate su multisensori richiede lo sviluppo di metodi innovativi e efficienti orientati a integrare le diverse informazioni acquisite. In particolare, vi è un crescente interesse per i metodi di fusione nel contesto dell'analisi delle immagini in vari ambito - sorveglianza, difesa, beni culturali, robotica, telerilevamento, imaging medico, biometrico, solo per citarne alcuni. Lo scopo della fusione delle immagini è di combinare le diverse informazioni che vengono acquisite da sensori distinti in una singola immagine al fine di aumentare il contenuto informativo visivo per supportare analisi e decisioni successive o immediate. Per esempio, metodi di fusione di immagini a infrarossi e visibili svolgono un ruolo fondamentale nelle applicazioni di sorveglianza in condizioni critiche (basso contrasto, scarsa luminosità, acquisizione notturna, ecc.) o per l'identificazione di camouflages o ostacoli. In questo ambito, l'uso di approcci multiscala, parzialmente o completamente non lineari, è cruciale in quanto, con un unico strumento, è possibile individuare caratteristiche locali sia nel dominio dello spazio che in quello della frequenza (identificazione del contenuto significativo) e integrarle mediante un'opportuna inversione della trasformata. D'altra parte, le nuove needlet che si vogliono costruire, in virtù delle proprietà analitiche che le caratterizzano, rappresentano uno strumento ideale per trattare problemi statistici caratterizzati da sparsitá dei dati e danno la possibilità di applicare questi risultati a altre varietà di dimensione d compatte e sufficientemente regolari in quanto queste si comportano localmente come tori d-dimensionali. Da non trascurare il potenziale uso di tali wavelet per la definizione di vincoli di tipo sparsità nella soluzione di problemi inversi mal posti, con applicazioni in campi quali medicina, neuroscienze, telerilevamento, beni culturali, fisica cosmica.