Il progetto proposto è focalizzato su vari aspetti della dipendenza tra variabili aleatorie e tra processi stocastici. Lo studio proposto riguarda da un lato la relazione tra la dipendenza, le proprietà di invecchiamento e gli ordinamenti stocastici delle variabili aleatorie positive, e dall¿altro le preferenze in un insieme finito di alternative e i paradossi cui possono dar luogo. In un secondo ambito del progetto si è interessati da una parte alla struttura dei legami sinaptici in modelli matematici dell¿attività neuronale (in particolare nel modello di Galves-Locherbach), dall¿altra all¿emergere di pattern di indipendenza asintotica nell¿ambito di reti di calcolo e di code interagenti. Tra gli strumenti comuni ai vari ambiti c'è quello di intensità stocastica, nei processi di conteggio e nei tempi di vita e quello di copula, che riguarda l'interazione tra variabili aleatorie al netto dei loro "effetti marginali".
A. Il problema della determinazione dei legami sinaptici tra i neuroni, equivalentemente dell'intorno di influenza di ciascun neurone rientra nella classe generale dei problemi di scelta del modello che tanto interesse hanno recentemente sollevato nell'ambito della data science. Nell'ambito dei processi di punto un riferimento fondamentale è [HRR15]. Per processi GL in tempo discreto molti risultati interessanti sono contenuti in [DGLO19]. Tuttavia questi risultati non pervengono a stime esplicite della probabilità di individuare i legami sinaptici presenti tra i neuroni, che riteniamo invece possibile derivare nell'ambito dei modelli con potenziale markoviano (e ancor di più nel caso additivo).
La ricerca si muove all'interno di un ambito riconosciuto da un punto di vista internazionale, che in anni recenti ha dato luogo ad un'intensa attività sia da un punto di vista metodologico sia sperimentale, con l'istituzione di due centri gemelli di ricerca di eccellenza a San Paolo (Neuromat, 2013) che a Nizza (Neuro mod, 2019). D'altra parte i proponenti dispongono di competenze diversificate che danno luogo ad un bagaglio di competenze adeguato per affrontare il progetto proposto, a partire dallo studio dello stato di equilibrio di processi di Hawkes [BNT02] fino ad arrivare allo sviluppo di tecniche di simulazione perfetta per processi e campi aleatori con memoria lunga ([DP12], [DP15]).
B. Nella letteratura economica e delle decisioni di gruppo si cerca di costruire appropriate "voting situations", volta per volta atte a spiegare la possibilità di insorgere di specifiche situazioni paradossali. In [S92] viene invece fornito un risultato di carattere generale, molto interessante sul piano matematico, ma non costruttivo. Esso si basa su argomenti astratti di tipo algebrico geometrico distanti dalla logica del problema, e per questo motivo non ha avuto grande risalto nella letteratura economica. Il nostro obiettivo è di ottenere un risultato analogo pienamente costruttivo, che si basi sulla descrizione delle situazioni elettorali in termini di DPP, invece che viceversa. L'impiego di modelli probabilistici di sopravvivenza, quale per esempio THLS, è completamente innovativo in questo campo. Nell'applicazione all'affidabilità, inoltre, permetterà di mostrare che, per qualunque sistema e qualunque legge di probabilità per i tempi di vita dei componenti, è possibile individuare qualche modello THLS che dia luogo alle stesse signature e subsignature.
C. Ci si aspetta, oltre che di ritrovare in modo più semplice i risultati già noti in letteratura, di ampliare la classe delle nozioni di dipendenza e di ageing per le quali valgono le implicazioni del tipo (i), (ii) e (iii) presentate per l'inquadramento della ricerca.
D. Lo studio di sistemi di particelle interagenti si è principalmente sviluppato per sistemi a tempo continuo con aggiornamenti Poissoniani in generale non simultanei.
Questo è avvenuto probabilmente perché questi sono i modelli che maggiormente si incontrano nei problemi fisici, ma anche perché l¿introduzione di una regola di aggiornamento simultaneo introduce, dal punto di vista matematico, una serie di complicazioni nel trattamento del modello. Queste complicazioni richiedono nuove idee per essere superate.
Il raggiungimento degli obiettivi proposti darebbe sicuramente un contributo sostanziale nella direzione dello studio di questi sistemi e dello sviluppo di nuove tecniche matematiche. .