Il progetto è una continuazione di precedenti con medesimi titolo, responsabile e personale strutturato. Si sono aggiunti due studenti di dottorato del proponente. Saranno trattati temi diversificati, tutti centrali nella ricerca matematica di base e pertinenti ai campi dell'algebra, della geometria algebrica e complessa, della topologia, della combinatoria (sia algebrica sia enumerativa) e dell'informatica teorica, che spaziano dalla teoria delle rappresentazioni, con enfasi sulla teoria infinito-dimensionale e su quella di Lie, ad argomenti più analitici e topologici, per completarsi con aspetti combinatorici e di informatica teorica, comunque collegati a tecniche di tipo sostanzialmente algebrico. Nel dettaglio le tematiche studiate, coerenti con quelle dei progetti precedenti delle quali costituiscono un raffinamento e approfondimento, saranno le seguenti:
1) Yangians e algebre di vertice generate da campi di peso conforme basso;
2) B-orbite e ideali abeliani;
3) Algebre di Hopf in combinatoria;
4) Linguaggi formali;
5) Geometria integrale e analisi armonica su alberi omogenei e semi-omogenei;
6) Formule dei caratteri per superalgebre di Lie;
7) Una variante dell'algebra di Temperley-Lieb.
Yangians e algebre di vertice generate da campi di peso conforme basso:
Una chiarificazione anche parziale della coincidenza descritta sarebbe un risultato di buona rilevanza dato che non ci sono motivi evidenti di collegamento tra Yangians e W-algebre, per cui il legame deve avvenire a un livello piuttosto riposto.
B-orbite e ideali abeliani:
Lo studio delle B-orbite di elementi 2-nilpotenti è preliminare a quello degli elementi 3-nilpotenti. Sebbene sia noto che non è possibile ottenere una classificazione nello stesso spirito, sarà comunque interessante caratterizzare gli elementi 3-nilpotenti per i quali le tecniche già utilizzate (studio dell'ordinamento di Bruhat di speciali involuzioni nel gruppo di Weyl affine) sono sufficienti a risolvere il problema.
Algebre di Hopf in combinatoria:
La ricerca si colloca all'intersezione di aree diverse come analisi stocastica (da un punto di vista non commutativo), algebre di operatori, teoria della probabilità, nonché algebra e combinatoria. Si potranno mettere a frutto le diverse competenze laddove strutture algebriche e combinatoriche su grafi, partizioni e altri oggetti combinatorici sono centrali nella teoria delle probabilità libere. L'altra direzione di ricerca dovrebbe portare a poter descrivere gli elementi primitivi dell'algebra di Hopf dei tableaux.
Linguaggi formali:
Lo studio dell'andamento asintotico delle funzioni di conteggio dei linguaggi formali fornisce informazioni sulla struttura algebrica e combinatorica di questi oggetti. In particolare, nel caso dei linguaggi algebrici a crescita polinomiale è possibile ottenere una descrizione esatta di tali funzioni in termini di funzioni quasi polinomiali a pezzi. Un aspetto innovativo di questa ricerca è legato alla connessione tra le funzioni di partizione di vettori e le predette funzioni di conteggio, che rende possibile l'utilizzo in questo studio di potenti strumenti teorici mutuati dalla teoria delle funzioni di partizione, dall'algebra delle box-splines e dalla combinatoria enumerativa sui politopi. Un altro aspetto innovativo di questa ricerca e' legato all'intenzione di effettuare questo studio per famiglie più generali di quella dei linguaggi algebrici rispetto alle quali non si conoscono ancora risultati significativi.
Geometria integrale e analisi armonica su alberi omogenei e semi-omogenei:
La ricerca sistematica degli oggetti classici da trasformata di Radon su alberi omogenei e semi-omogenei sugli spigoli, e in parte quella sui vertici, è una novità interessante in sé, che può portare frutti nell'analisi armonica classica (trasformata di Fourier, operatore di Laplace, nucleo di Poisson, eccetera) e può guidare la successiva ricerca sugli edifici di Bruhat-Tits di rango maggiore.
Formule dei caratteri per superalgebre di Lie:
Ottenere una formula dei caratteri per moduli tame senza ipotesi tecniche potrebbe essere un buon punto di partenza per studiare casi in cui la formula di Kac-Wakimoto necessita di variazioni.
Una variante dell'algebra di Temperley-Lieb:
Lo scopo ultimo di tutte le algebre definite da relazioni tipo skein è quello di produrre invarianti di trecce e, in secondo luogo, invarianti di nodi.