Gli oggetti di studio del mio progetto sono le equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico in domini limitati con condizioni al contorno di Dirichlet omogenee. Più precisamente siamo interessati a due classi di problemi:
A) equazioni che hanno come modello il seguente:
-div(|Du|^{p-2}Du)=H(u)f,
ovvero come operatore principale il p-Laplaciano e come termine di ordine inferiore H(u)f dove f è una funzione irregolare sommabile o una misura positiva e limitata e H è una funzione continua che esplode in 0. Dunque il problema è singolare poichè avendo condizioni di Dirichlet omogenee sul bordo del dominio sicuramente la soluzione u deve tendere a 0 vicino al bordo e il dato H(u)f esplode. Ciò a cui siamo interessati è studiare esistenza, regolarità e possibile unicità della soluzione.
B)sistemi ellittici che hanno come modello sistemi di equazioni di Schrödinger-Maxwell, ovvero
-div(|Du|^{p-2}Du)+Av|u|^{r-2}u=f
-div(|Dv|^{p-2}Dv)=|u|^{r},
dove A è un numero reale positivo, r un numero reale strettamente maggiore di 1 e f una funzione irregolare. Dalla teoria classica sotto opportune ipotesi si hanno soluzioni per le singole equazioni. Ciò a cui siamo interessati è trovare una soluzione (u,v) del sistema e vedere se l'interazione tra le due equazioni genera un effetto regoralizzante per tale soluzione.
A) A mia conoscenza non ci sono risultati di esistenza di soluzioni rinormalizzate per problemi ellittici che hanno come operatore principale il p-Laplaciano e termine di ordine inferiore H(u)f con f misura e H illimitata in 0. Una tale esistenza porterebbe anche e soprattutto ad un risultato di unicità che è fondamentale sia per questo caso stazionario, sia per una futura trattazione di esistenza della soluzione nel caso parabolico, cioè nel caso di evoluzione temporale della soluzione. Inoltre le tecniche usate sembrano potersi adattare anche all'analisi di problemi completamente non lineari o con nonlinearità più generali nel termine di ordine inferiore.
B) Anche in questo caso non si hanno risultati, tranne quelli di partenza citati sopra, per effetti regolarizzanti della soluzione di sistemi del tipo Schrödinger-Maxwell. In generale si vogliono adattare le tecniche che si vogliono usare in questo caso, cioè partire da punti di sella del funzionale associato nel caso di dato regolare, anche per altri classi di sistemi ellittici. Ottenere dunque per approssimazione un effetto regolarizzante anche per sistemi le cui equazioni hanno dipendenza nel termine di ordine inferiore non solo da u ma anche dal Du.
Bibliografia:
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