Il progetto studia problemi di geometria differenziale che danno luogo a equazioni differenziali alle derivate parziali non lineari.
Un primo argomento riguarda l'esistenza di superfici con curvatura media costante o prescritta. Le tecniche che saranno utilizzate sono di tipo "gluing", ossia date dall'unione di assegnate superfici con nota curvatura prescritta. In questo conteso la classica riduzione finito dimensionale di Lyapunov-Schmidt giocherà un ruolo centrale.
ll secondo argomento di cui ci occuperemo è l'equazione di campo medio su varietà Riemanniane bidimensionali. Questo problema ha molteplici applicazioni nel campo della geometria differenziale, della fisica matematica e della meccanica statistica. Ci occuperemo principalmente di unicità\non unicità e comportamento asintotico di soluzioni che si concentrano in uno o più punti della varietà. Gli strumenti essenziali sono di nuovo tecniche di analisi asintotica di equazioni differenziali alle derivate parziali non lineari e la riduzione finito-dimensionale di Lyapunov-Schmidt.
I metodi che intendiamo utilizzare nello studio dei problemi indicati realizzano un ponte fra le tecniche della geometria differenziale e quelle delle equazioni alle derivate parziali non lineari.
Uno degli strumenti che giocherà un ruolo essenziale in entrambi i problemi é la riduzione finito dimensionale di Lyapounov-Schmidt. Si tratta di un potente strumento che negli ultimi anni ha permesso di fare molti passi avanti in vari settori delle equazioni differenziali alle derivate parziali.
Tuttavia, nel caso dello studio su varietà, questo strumento è stato molto meno utilizzato, sopratutto a causa delle complicazioni tecniche che naturalmente compaiono.
Lo sforzo congiunto dei componenti del gruppo nella direzione dell'uso di queste tecniche sicuramente concorrerà a un avanzamento nelle conoscenze dei settori interessati nel progetto.
I risultati previsti saranno inviati a riviste di alto valore internazionale, confrontabili con quelle utilizzate negli ultimi anni dai componenti del gruppo.
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