Il programma di ricerca si incentra sull'analisi di equazioni alle derivate parziali associate a flussi di misure. Gli spazi ambiente sono continui o discreti, in particolare grafi e networks.
Ci si propone in particolare di studiare equazioni differenziali ambientate in spazi di misure o contenenti dati misura. Si vogliono formulare nozioni di soluzioni deboli opportunamente adattate e provare risultati di confronto e stabilita'. Misure colegati alle equazioni differenziali intevengono anche nelle procedure asintotiche e forniscono formule di rappresentazione per le soluzioni limite. Questo sia nel caso di equazioni di Hamilton--Jacobi viscose sia per equazioni fully nonlinear.
Alcuni argomenti piu' specifici sono
- analisi di evoluzioni di masse o o aggregati df molecole in spazi di Wasserstein, dipendenti da parametri di controllo.
- approccio mediante programmazione dinamica del problema di cui sopra con determinazione di un'opportuna equazione di Hamilton--Jacobi--Bellman.
- problemi di Mean field games su grafi e network. Definizione di soluzioni deboli.
-omogeneizzazione di equazioni di Hamilton-Jacobi su network e determinazione dell'equazione limite tramite tecniche omologiche;
- analisi di leggi di conservazione iperbolica con dati misure, con particolare riferimento ad evoluzioni dove la parte singolare della misura permane per tempi positivi;
- principi di selezione, nel limite di viscosita' evanescente, per equazioni di Hamilton-Jacobi viscose utilizzando lemisure di Mather.
- studio del problema ergodico per operatori fully nonlinear possibilmente degeneri, unicita' della costante ergodica, sua caratterizzazione e analisi qualitativa.
Si prevede di usare metodi delle soluzioni di viscosita', soluzioni entropiche per leggi di conservazione, del controllo ottimo, spazi di Wasserstein, Mean field games, teoria dei grafi.
Spazi di misure
I modelli matematici per le evoluzione di aggregati, quali il trasporto ottimo, ambientato in spazi di Wasserstein e i mean fileld games, sono ancora ad un livello iniziale di avanzamento. Noi affrontiamo questioni di carattere generale non ancora risolte, o cerchiamo di importare in questo ambito tecniche utilizzate con successo in altri contesti. Lo studio della programmazione dinamica in ambiente Wasserstein, che intendiamo perseguire, e' un soggetto di ampio respiro e con evidenti ricadute applicative, vedi [AF], [GNT] . Allo stesso modo, l'analisi numerica del modello dei mean field games sembra un passaggio invitabile per il pieno sviluppo di questa teoria. Uno spunto originale nel progetto, che speriamo possa avere un impatto significativo, e' l'idea di recuperare tecniche classiche dei sistemi di complementarieta' per l'approssimazione numerica in ambiente discreto.
Leggi di conservazione con dati misura
L'immovativita' di questo tema nel nostro progetto sta nel mettere al centro dell'indagine flussi dove la parte singolare della misura non scompare per tempi positivi. Questo risponde ad una esigenza modellistica oltre che ad un interesse teorico. Sul piano metodologico la novita' consiste nell' utilizzare direttamente soluzioni a valori misura. In contrasto con l'approccio piu' consolidato in cui invece si usano soluzioni tradizionali interpretando in un opportuno senso debole l'assunzione del dato misura.
Grafi e networks
Il problema matematico chiave per lo sviluppo di modelli differenziali sui networks e' la formulazione di condizione di trasmissione ai vertici delle equazioni definite sugli archi. Abbiamo scelto come problema base nel nostro programma quello delle equazioni di Hamilton-Jacobi evolutive. E' un problema difficile per la compresenza di una variabile spaziale semidiscreta ed una temporale continua. A tutt'oggi e' presente una sola teoria,vedi [IM] che ha il difetto di essere estremamente macchinosa. La nostra ipotesi di lavoro e' che l' accoppiamento con una equazione discreta posta su un grafo astratto associato, vedi [SS], possa consentire una notevole semplficazione. Questa problematica e' collegata allo studio di trasporto di misure e mean filed games su network. La possibilita' di modelizzare evoluzione di masse su network sta dando vita ad una modellistica di tipo medico di grande interesse, vedi [TSS]. Il network simula l'apparato vascolare , e il modello da' conto dell'evoluzione nel tempo di alcune patologie, ad esempio di quelle tumorali
Studio asintotico
Lo studio di proprieta' di selezione di speciali soluzioni del problema limite per l'approssimazione ergodica nasce da [DFIZ], di cui e' coautore un membro del nostro progetto. Qui e'stata formulata la nozione chiave di misura diMather per Hamiltoniane non regolari. La tematica ha avuto rapidamente un largo successo, vedi [AAIY], [IMT] . La sua applicazione al problema ergodico richiede un'attenta manipolazione di misure invarianti per i flussi approssimanti e quello limite. Si prevede anche di utilizzare tecniche del trasporto.
Il problema ergodico per equazioni fully nonlinear si inserisce in un filone di particolare attualita': l'usodi tecniche della teoria delle soluzioni di viscosita' per l'analisi qualitativa. Questa teoria si caratterizzava ai suoi inizi come particolarmente adatta per ottenere risultati di confronto, formule di rappresentazioni e proprieta' di stabilta'. Una sua utilizzazione per uno studio geometrico qualitativo e' relativamente piu' recente e trova la sua applicazione piu' famosa nella teoria Kam debole. Ma per problemi del primo ordine. L'implementazione di queste idee pe il secondo ordine e' piu' complessa ed e' un soggetto in larga misura inesplorato.
BIBLIOGRAFIA
[AAIY] E. S. Al-Aidarous, E. O. Alzahrani, H. Ishii, A. M. M. Younas, A convergence result for the ergodic problem for Hamilton-Jacobi equations with Neumann-type
boundary conditions, Proc. Royal Soc. Edinburgh (2016),
[AF] L. Ambrosio, J. Feng: On a class of first order Hamilton-Jacobi equations in metric spaces, JDE (2014)
[GNT] W.Gangbo, T. Nguyen, A. Todorascu: Hamilton-Jacobi equations in the Wasserstein space, Meth and Appl. Analysis (2008)
[IM] C. Imbert, R. Monneau: Flux-limited solutions for quasi-convex Hamilton-Jacobi equations on networks. Ann. Sci. Ec. Norm. Sup (2017).
[IMT] H. Ishii, H. Mitake, H.V. Tran, The vanishing discount
problem and viscosity mather measures. part 1: the problem on a torus. J. Math. Pures Appl., to appear.
[TSS] A. Tannenbaum, C. Sander, R. Sandhu, L. Zhu, I. Kolesov, E. Reznik, Y. Senbabaoglu, T. Georgiou: Graph curvature for differentiating cancer networks, Nature-Scientific Reports (2015)