L'interesse geometrico per la nozione di formalità di un'algebra è dovuto in primis ai lavori di Deligne, Griffiths, Morgan, Sullivan [DGMS]. In maniera simile la nozione di formalità per un'algebra di Lie differenziale graduata (DGLA) è stata studiata da Goldman e Millson [GM] in un lavoro del 1988. L'interesse della formalità in teoria delle deformazioni è dovuto al lavoro di Kontsevich [Ko] del 1997.
L'obiettivo di lungo periodo del Progetto di Ricerca è studiare la nozione di formalità per algebre L-infinito, dal punto di vista algebrico e geometrico. Estendendo la nozione di formalità dalle DGLA alle algebre L-infinito è possibile parlare di formalità per differenziali di grado superiore. Il lavoro di Manetti [Ma], in cui viene sviluppato un criterio di formalità per le DGLA basato sulla degenerazione di una successione spettrale suggerisce che un analogo criterio possa essere dimostrato per algebre L-infinito. Un risultato di questo tipo porterebbe ad applicazioni geometriche interessanti, quali lo studio della formalità in famiglie, risultato già noto nel caso delle DG-algebre ([Ka] e [Lu]), e una nuova lettura di oggetti geometrici di recente sviluppo ([CPT]).
Bibliografia:
[DGMS] P. Deligne, P. Griffiths, J. Morgan and D. Sullivan: Real homotopy theory of K ¿ahler manifolds. Invent. Math. 29 (1975) 245-274. 1 , 10
[GM] W.M. Goldman and J.J. Millson: "The deformation theory of representations of fundamental groups of compact Kaehler manifolds" Publ. Math. I.H.E.S. 67 (1988)
[Ko] M. Kontsevich, "Deformation quantization of Poisson manifolds", arXiv:q-alg/9709040, Lett.Math.Phys.66:157-216, 2003
[Ma] M. Manetti, "On some formality criteria for DG-Lie algebras", arXiv:1310.3048, J. Algebra 438 (2015), 90 - 118
[CPT] E. Colombo, G. P. Pirola, A. Tortora, "Hodge-Gaussian maps", arXiv:math/0005283
[Lu] V. A. Lunts, "Formality of DG algebras (after Kaledin)", arXiv:0712.0996
[Ka] D. Kaledin, "Some remarks on formality in families", arXiv:math/0509699
La formalità di una DGLA è una nozione piuttosto familiare nello studio di problemi di deformazione. Risultati recenti mettono in luce come per rispondere a problemi nel contesto delle DGLA sia necessario passare attraverso la categoria più ampia delle algebre L-infinito. Questa infatti soddisfa proprietà omotopiche che la categoria delle DGLA non soddisfa. Purtroppo ben poco si sa a riguardo delle strutture L-infinito in geometria.
Il progetto di ricerca si pone l'obiettivo di lavorare su due fronti: dal punto di vista algebrico sviluppare criteri nuovi per la formalità di un'algebra L-infinito, dal punto di vista geometrico quello di studiare il comportamento della formalità sotto trasformazioni di tipo geometrico. Ambientare oggetti geometrici nel linguaggio delle algebre L-infinito consentirebbe di studiarne la formalità usando i criteri che ci aspettiamo di individuare. Questi dovrebbero prestarsi agevolmente a trarre conclusioni geometriche (sotto ragionevoli ipotesi di regolarità) consentendo di rispondere direttamente a quesiti oggi aperti.