Fenomeni fisici, come l'Effetto Hall Quantistico Frazionario, realizzati con sistemi di particelle confinate in regioni di spazio quasi
bidimensionali, trovano negli anyoni un modello matematico soddisfacente. Gli Anyoni sono particelle previste solo in 2 dimensioni che obbediscono ad una statistica frazionaria, ovvero, una statistica intermedia tra quella bosonica e fermionica. Quando due particelle
compiono un giro completo l'una attorno all'altra, la funzione d'onda complessiva acquista una fase non banale, cioè un numero
complesso di modulo 1 diverso da + o - 1. Questo comportamento inusuale fa si che siano il modello più studiato nell'ambito della realizzazione di un computer Quantistico. Per quanto riguarda il substrato matematico, la buona positura e l'autoaggiuntezza per Hamiltoniane di anyoni interagenti costituiscono
problemi attualmente aperti. Ci concentreremo sul caso di due e tre anyoni non interagenti e studieremo il problema tramite una trasformazione che ci consentirà di affrontarlo nel setting degli spazi di Sobolev pesati. L'obiettivo è quello di scrivere le forme quadratiche associate agli operatori autoaggiunti che estendono l'operatore simmetrico di partenza e dimostrarne la chiusura e limitatezza dal basso.
Lo studio di estensioni autoaggiunte diverse dalla Friedrichs dal punto di vista delle forme quadratiche apre nuove strade nella realizzazione di modelli teorici di computazione quantistica. Sistemi di Anyons godono di proprietà di clustering e in questo estensioni negative dell'operatore definito su funzioni lisce sembrano buoni modelli per l'interazione attrattiva tra le quasi particelle. In questo senso l'innovatività verte direttamente nelle applicazioni.
Dal punto di vista matematico, invece l'analisi del problema nel setting con "peso" motiva lo studio di Spazi Di Sobolev Pesati e spazi interpolanti tra essi, Disuguaglianze di tipo Sobolev-Poincarè, Hardy, Lieb-Thirring per questi specifici operatori.