Lo scopo del lavoro proposto è di raggiungere una più ampia comprensione delle proprietà della connessione di Bismut. In particolare, ci prefiggiamo di analizzare i problemi classici di curvatura scalare costante e prescritta ed Hermitian Einstein. La ricerca quindi si articola in due fasi distinte. Da un lato, vogliamo capire quali restrizioni sulla geometria della varietà siano implicate dalle condizioni sopracitate; parallelamente, vorremmo costruire esempi espliciti di strutture Hermitiane che soddisfino tali condizioni.
Siamo già riusciti ad utilizzare le tecniche di risoluzione del problema di Yamabe associato alla connessione di Chern per tutte le connessioni di Gauduchon, risolvendo (dipendentemente dal grado di Gauduchon) il "Bismut-Yamabe-problem". Si vuole ora proseguire con il problema più generale di curvatura scalare di Bismut prescritta.
Per quanto riguarda il problema di Bismut Hermitian Einstein, invece, abbiamo ottenuto risultati interessanti attraverso il suo studio su fibrati torici, costruendo esempi espliciti di strutture Hermitiane Ricci Bismut piatte sulle varietà di Calabi-Eckmann. Vorremmo ora generalizzare la costruzione che ha portato a questi esempi, dato che sembra adattarsi ad un contesto più ampio. Inoltre, siamo anche interessati ad estendere le formule di summersione di O'Neil alle curvature delle connessioni di Gauduchon. Queste formule, oltre ad essere interessanti di per sé, potranno essere usate per trovare altri esempi espliciti di metriche Bismut Hermitian Einstein.
In ultimo, sappiamo che la connessione di Bismut presenta vari legami con il pluriclosed flow di Streets e Tian. Ad esempio, le metriche Bismut Hermitian Einstein, di cui sopra, rappresentano punti statici di tale flusso. Noi vorremmo approfondire l'interazione tra di esso ed una nozione di positività associata alla connessione di Bismut che abbiamo introdotto. Abbiamo, infatti, già studiato tale legame in alcuni casi espliciti con risultati interessanti.
Gli esempi rilevanti a nostra disposizione di varietà complesse con strutture Hermitiane Bismut Ricci piatte (dette CYT) e pluriclosed (dette SKT) si limitano alla superfice di Hopf S^3 x S^1 e una delle varietà di Calabi-Eckmann S^3 x S^3. In [1], gli autori hanno individuato sia delle strutture CYT che delle strutture SKT sulle varietà (k-1)( S^2 x S^4 ) # k( S^3 x S^3 ); queste, tuttavia, non sono necessariamente coincidenti, e resta un problema complesso provare che lo siano. Noi abbiamo individuato delle nuove strutture CYT su tutte le varietà di Calabi-Eckmann S^{2n+1} x S^{2m+1}. La nostra costruzione sembra potersi estendere ad una classe più ampia di varietà (classe C in [2]). Un avanzamento consistente nella ricerca sarebbe riuscire a costruire su queste varietà strutture Hermitiane che oltre ad essere CYT siano anche pluriclosed. La costruzione di esempi di questo tipo, infatti, rappresenta un risvolto importante nella comprensione delle proprietà del pluriclosed flow. Questo flusso geometrico, infatti, su una struttura Hermitiana SKT evolve la metrica nella direzione della parte (1,1) della forma di Ricci associata alla connessione di Bismut (preservando quindi la condizione pluriclosed). Per questo motivo, le metriche CYT e SKT rappresentano punti statici del flusso. Recenti avanzamenti nella conoscenza del pluriclosed flow sono stati ottenuti da Streets utilizzando concetti derivanti dalla geometria complessa generalizzata, si veda [3]. In questo senso lo studio delle proprietà geometriche della connessione di Bismut sono nuovamente utili in quanto molte delle strutture e dei concetti introdotti in geometria complessa generalizzata hanno una interpretazione attraverso la connessione di Bismut.
[1] D. Grancharov, G. Grancharov, Y.S. Poon. "Calabi-Yau connections with torsion on toric bundles", J. Differential Geom. 78 (2008), no.1, 13-32.
[2] Fabio Podestà. "Homogeneous Hermitian manifolds and special metrics", Transform. Groups 23 (2018), no. 4, 1129-1147.
[3] Jeffrey Streets. "Pluriclosed flow, Born-Infeld geometry, and rigidity results for generalized Kähler manifolds", Comm. Partial Differential Equations 41 (2016), no. 2, 318-374.