Il problema per cui una W-algebra affine classica ammetta una gerarchia integrabile di PDE Hamiltoniane è stato recentemente (2016) risolto nel caso di gl_N da De Sole, Kac e Valeri, per qualunque elemento nilpotente f.
Il linguaggio è quello delle algebre di vertice di Poisson (PVA) e gli strumenti principali sono gli operatori pseudodifferenziali di tipo Adler, ovvero operatori formali pseudodifferenziali a coefficienti in un'algebra di vertice di Poisson V che soddisfano l'identità di Adler rispetto al lamda-bracket su V.
L'idea è definire sulla W-algebra affine W(gl_N,f) una famiglia di strutture di PVA dipendenti da un elemento S di gl_N. Quindi, De Sole, Kac e Valeri hanno costruito una matrice di operatori pseudodifferenziali L_1(\delta) che ha come coefficienti delle entrate elementi della W-algebra. Si dimostra che L_1(\delta) è di tipo Adler rispetto ai lambda-bracket su W e dunque la famiglia di W-algebre ammette una gerarchia Hamiltoniana integrabile (in termini di L_1) che soddisfa lo schema di integrabilità di Lenard-Magri.
Una prima parte del progetto è applicare questa teoria in diversi esempi, per studiare, al variare dell'elemento nilpotente f (eg. nilpotente subprincipale, nilpotente associato alla partizione (N+1,N) di gl_{2N+1}) la gerarchia Hamiltoniana associata alla W-algebra.
Inoltre, questo metodo può essere esteso alle altre algebre di Lie classiche e il punto principale è trovare un'equivalente dell'identità di Adler che abbiamo per gl_N. Un primo approccio al problema è studiare il collegamento tra l'identità di Adler e la formula esplicita che si ha per i lambda-bracket in tutte le W-algebre affini classiche: ovvero dedurre la prima dalla seconda scritta per gl_N.
Nonostante l'interesse per le W-alegbre classiche sia abbastanza diffuso, dei risultati più generici circa il collegamento tra W-algebre e gerarchie (bi)-Hamiltoniane integrabili si sono avuti solo negli ultimi due anni, grazie ai lavori di De Sole, Kac e Valeri. Tuttavia la teoria presentata in "Classical affine W-algebras for gl_N and Associated Integrable Hamiltonian Hierarchies" (2016) lascia degli spunti di riflessione. Sappiamo che le W-algebre per gl_N affini classiche ammettono una gerarchia Hamiltoniana integrabile di equazioni di tipo Lax e la domanda che sorge è se è possibile o meno (e se sì come) esplicitare la gerarchia in dipendenza della W-algebra, ovvero dell'elemento nilpotente.
Inoltre, questo metodo può essere esteso anche alle altre algebre di Lie classiche so_N e sp_N, ovviamente riadattando alcune formule. Uno degli obiettivi del progetto è proprio fare le opportune modifiche a riguardo.