Il gruppo di rinormalizzazione perturbativo, che equivale ad un'espansione intorno ad un modello di campo medio fully-connected, è stato un utilissimo strumento per caratterizzare le transizioni di fase e le loro proprietà in dimensione finita. Purtroppo la sua applicazione ai sistemi disordinati è risultata spesso difficile ed infruttuosa. Per alcuni sistemi disordinati non si conoscono neanche la dimensione critica superiore o inferiore o la transizione non è presente nel modello fully-connected o ha differenze sostanziali con la transizione in dimensione finita. E' questo il caso per due modelli che sono un po' i prototipi dei modelli disordinati: il Random Field Ising Model e lo Spin Glass in campo. In questo progetto ci proponiamo di applicare una nuova espansione proposta recentemente, l'espansione intorno al Bethe Lattice, a questi due modelli. Il Bethe lattice condivide molte proprietà con i modelli in dimensione finita. Per questo questa nuova espansione si profila come molto più adatta a descrivere i modelli disordinati in dimensione finita rispetto all'espansione usuale intorno a modelli fully-connected.
Come già sottolineato in precedenza, l'applicazione dell'espansione di Bethe al RFIM potrebbe confermare (o contraddire) i risultati ottenuti dal gruppo di rinormalizzazione non perturbativo, con il grande vantaggio di avere un metodo sotto preciso controllo, a differenza del gruppo di rinormalizzazione non perturbativo, le cui approssimazioni non sono sotto controllo.
Sull'altro fronte, l'applicazione allo SG in Campo, e l'eventuale scoperta di un punto fisso stabile anche sotto Du=6 porrebbe fine ad una lunga disputa scientifica durata quasi 40 anni sull'esistenza o meno di una transizione di tipo SpinGlass in campo a basse dimensioni.
Più in generale, l'espansione intorno al Bethe Lattice in [AA] è stata introdotta recentemente e ad oggi applicata solamente a pochi modelli: Bootstrap Percolation [BootP], allo SG in campo a temperatura finita e connettività grande, per cui si ritrovano gli stessi risultati dell'espansione intorno al FC [APRT], parzialmente al RFIM a T=0 [ALPRTR].
Questo progetto potrebbe evidenziare le potenzialità di tale nuova espansione, aprendo così la strada alla sua applicazione a molti altri modelli disordinati, giusto come esempio citiamo la Localizzazione di Anderson (che non è presente in un modello FC e quindi non può essere studiata in dimensione finita attraverso l'espansione classica intorno al FC ma è invece presente su Bethe Lattice) o i modelli di vetri strutturali o di Jamming.