I metodi di tipo combinatorio si sono da sempre rivelati uno strumento assai efficace nello studio di strutture algebriche e geometriche, specie se si opera in ambienti dotati di particolari simmetrie o altre proprietà di invarianza.
La cornice entro cui si sviluppa la presente proposta progettuale è rappresentata proprio dall'utilizzo di tali metodi per rispondere a questioni significative che compaiono naturalmente all'interno della teoria delle algebre soddisfacenti identità polinomiali, dell'Algebra Commutativa e della Geometria Riemanniana. Più nei dettagli, le tematiche che si intendono affrontare riguardano:
a) la classificazione di varietà di algebre PI con un'addizionale struttura graduata in base all'andamento asintotico delle rispettive codimensioni (utilizzando anche i metodi propri della teoria delle rappresentazioni dei gruppi);
b) l'indagine della struttura di un'algebra gruppale cui sono imposte condizioni o sull'intero gruppo delle unità o su determinati sottoinsiemi notevoli, opportunamente individuati dall'azione di particolari mappe involutive operanti sull'algebra;
c) lo studio dei semigruppi numerici o di tipo più generale in relazione a quello degli anelli locali uno-dimensionali di Cohen-Macaulay (in particolare anelli di singolarità di curve algebriche);
d) le forme differenziali canonicamente associate alle strutture di Clifford e la coomologia primitiva delle varietà riemanniane simmetriche.
Rispetto ai punti menzionati tra gli obiettivi, si tratteggiano gli aspetti di innovatività e potenzialità presenti nelle linee di ricerca della proposta progettuale.
a) Uno dei maggiori temi di ricerca nella PI-teoria è la classificazione delle algebre a meno di PI-equivalenze. Un possibile approccio è quello di trovare una lista completa di invarianti (ricordiamo che un invariante è un numero intero che è identico per algebre soddisfacenti le stesse identità polinomiali) che distinguono, e quindi determinano, le varietà. Tra di essi uno dei più significativi è fornito dall'esponente di una data algebra. Esso permette di distribuire le varietà su strati sovrapposti. In particolare, se S è un fissato insieme di polinomi e la varietà da esso generata, V(S), ha esponente d, potrebbe accadere che aggiungendo polinomi a S la varietà diventa più piccola ed il suo esponente minore di d. In tal caso si dice che V(S) è minimale. Da questo si capisce come, in qualche senso, le varietà minimali sono gli estremi di ciascun strato, e quindi di fondamentale importanza nella moderna teoria asintotica delle codimensioni. Classificate in [2] nel caso non-graduato, il problema si pone naturalmente nell'ambito delle algebre PI graduate da un gruppo finito, anche nell'ottica di elaborare una teoria che generalizzi quella del caso ordinario (corrispondente a gradazioni indotte dal gruppo con un unico elemento). Si vorrebbe risolvere la questione per gradazioni indotte da gruppi di ordine primo. Il grado di difficoltà considerevolmente più elevato conduce all'introduzione di tecniche differenti, che tra l'altro paiono avere la possibilità di essere applicate in contesti più ampi, anche alla luce del lavoro di Aljadeff e Kanel-Belov ["Representability and Specht Problem for G-graded algebras" Adv. Math. 225 (2010)].
b) Lo studio del gruppo delle unità U(FG) di un'algebra gruppale FG ha da sempre attratto l'interesse dei ricercatori operanti in tale ambito. La presente proposta progettuale si inserisce in una direzione che nell'ultimo decennio ha visto uno sviluppo sostanziale sia in termini di attenzione che di risultati ottenuti. In particolare, si vogliono caratterizzare quelle algebre le cui unità sono *-GI o le cui unità unitarie soddisfano identità gruppali. Questo sarebbe la naturale generalizzazione di ciò che è noto sulla struttura di FG quando U(FG) soddisfa un'identità gruppale o le sue unità simmetriche sono GI. La difficoltà dell'analisi induce a ritenere che anche rislutati parziali possano considerarsi un avanzamento significativo dello stato dell'arte. L'idea di fondo sta nell'esplorare la possibilità di legare identità gruppali di U(FG) o suoi sottoinsiemi ad identità polinomiali di FG al fine di spostare il piano di lavoro nella struttura associativa o di Lie dell'algebra, che è meglio capita ed in cui è più agevole muoversi. Partendo dall'involuzione classica, questo approccio potrebbe essere significativo nel contesto più generale di involuzioni indotte da un'arbitraria involuzione agente su G.
c) La relazione tra anelli e semigruppi sopra descritta, sebbene non sia nuova ma risalga agli studi classici di Zariski, si può avvalere oggi di efficaci strumenti di calcolo. Un programma in GAP (GAP package NumericalSgps) elaborato da Delgado (Università di Porto, Portogallo) e Garcia-Sanchez (Università di Granada, Spagna) permette calcoli con semigruppi numerici molto grandi (per numero di generatori e molteplicità). La vasta quantità e varietà di esempi che possono essere costruiti con questi mezzi facilita la formulazione di congetture che possono essere estese anche a contesti più generali.
d) La Geometria Riemanniana legata ai gruppi di Lie eccezionali e relativi spazi simmetrici è tema di ricerche attuale con tecniche di varia natura. La determinazione di un confronto tra le forme differenziali responsabili della geometria e topologia degli spazi simmetrici eccezionali di tipo compatto si colloca in questa direzione e promette di essere un innovativo avanzamento nel campo indicato. In particolare, tra gli aspetti più rilevanti si pone l'applicazione in ambito riemanniano di quanto sviluppato da Dadok e Harvey in [20] riguardo a calibrazioni definite in spazi lineari.