L'analisi globale su spazi stratificati alla Thom-Mather è stata oggetto di un'intensa attività di studio negli ultimi trent'anni. Si tratta infatti di un'area di ricerca ricca di interazioni con altri campi della matematica ed il suo notevole e recente sviluppo ha condotto a significativi avanzamenti anche in altri settori quali ad esempio la topologia, la geometria algebrica, la geometria simplettica e la fisica matematica.
L'obiettivo di questo progetto di ricerca è quello di estendere al caso di spazi stratificati alla Thom-Mather alcuni argomenti classici e fondamentali dell'analisi globale su varietà differenziali compatte. Più precisamente:
1) l'obiettivo del primo progetto è quello di sviluppare la teoria dell'indice per l'operatore spin-c Dirac nel caso di spazi stratificati alla Thom-Mather. Si tratta di un progetto con interessanti potenzialità applicative alla geometria simplettica e più in particolare allo studio delle riduzioni simplettiche singolari.
2) L'obiettivo del secondo progetto è lo studio della torsione analitica su spazi stratificati alla Thom-Mather, della torsione analitica L2 sui rivestimenti normali di spazi stratificati alla Thom-Mather e delle loro possibili interpretazioni in termini di coomologia d'intersezione.
Lo studio degli operatori di Dirac su spazi stratificati ha visto un notevole sviluppo negli ultimi trent'anni con importanti contributi da parte di Cheeger, Bruning, Lesch, Mazzeo, Piazza, Albin, Gell-Redamn e molti altri.
Nonostante le numerose ricerche, il quadro non può dirsi ancora completo. In particolare, come già anticipato in precedenza, uno studio dettagliato delle proprietà analitiche dell'operatore spin-c su spazi stratificati alla Thom-Mather non è stato ancora prodotto. Ogni risultato in questa direzione sarebbe nuovo e contribuirebbe a colmare questo vuoto. Aggiungiamo inoltre che lo sviluppo della teoria dell'indice e della relativa teoria L2 per l'operatore spin-c Dirac su spazi stratificati avrebbe delle importanti conseguenze geometriche, trattandosi di un problema strettamente collegato allo studio delle riduzioni singolari di varietà simplettiche. Queste ultime forniscono importanti esempi di spazi simplettici stratificati, c.f.r. [SL], e si ottengono come quoziente di una varietà simplettica M mediante un gruppo di Lie compatto G che agisce in modo Hamiltoniano su M. Nel caso in cui M è munita di un fibrato in rette polarizzante L e il quoziente M/G è liscio i risultati di [M], [TZ] mostrano come la dimensione della quantizzazione di (M, L) coincida con l'indice dell'operatore spin-c su M/G. In particolare, tali risultati rispondono affermativamente alla celebre congettura proposta da Guillemin e Sternebrg [GS] e diventata nota come "quantization commutes with reduction". Sarebbe molto interessante, oltre che naturale, estendere questi risultati al caso in cui M/G sia uno spazio simplettico stratificato. In questa direzione lo sviluppo della teoria L2 dell'operatore spin-c Dirac su spazi stratificati rappresenterebbe un passo fondamentale.
I progetti sulla torsione analitica si inseriscono in un'intensa attività volta a studiare invarianti secondari degli operatori di Dirac e dei Laplaciani generalizzati su spazi singolari. Gli esempi fondamentali sono gli invarianti di tipo rho e gli invarianti di torsione. Nel caso regolare questi invarianti hanno importanti legami con la geometria delle varietà, e permettono di ottenere importanti risultati sullo spazio delle metriche a curvatura scalare positiva, sulle proprietà topologiche del gruppo dei diffeomorfismi della varietà e sulla coomologia dei gruppi discreti aritmetici.
Nel caso singolare ci sono contributi di Piazza-Vertman e Botvinnik-Piazza-Rosenberg per gli invarianti rho ma nulla sulla torsione analitica e topologica su spazi stratificati di profondità maggiore di 1 e su rivestimenti di Galois di spazi stratificati di profondità maggiore o uguale ad 1. Riteniamo che uno studio dettagliato di questi invarianti possa essere di grande interesse per una vasta comunità di ricercatori che si occupa delle proprietà analitiche e topologiche degli spazi stratificati.