Si ritiene che la causa principale per la formazione di onde anomale (OA) in natura sia l'instabilita' non lineare della modulazione dell'ampiezza di certe soluzioni fondamentali della teoria, e questo meccanismo ha importanti riscontri in diversi contesti fisici, come la fluidodinamica, l'ottica non lineare e i condensati di Bose-Einstein. Il piu' semplice modello matematico generalmente usato per lo studio delle OA e' l'equazione di Schroedinger non lineare (NLS) di tipo "focusing" in 1+1 dimensioni, che descrive gli effetti di focalizzazione della modulazione dell'ampiezza di onde monocromatiche in mezzi debolmente non lineari. La soluzione del problema di Cauchy periodico dell'equazione NLS, per piccole perturbazioni iniziali della soluzione di background instabile, e' stata ottenuta di recente dal proponente in collaborazione con P.G. Grinevich attraverso una variante innovativa del metodo "Finite Gap" (generalizzazione non lineare del metodo della serie di Fourier), e ha permesso di descrivere in modo analitico e deterministico l'apparizione, ricorrenza, ed interazione non lineare delle OA, quando i corrispondenti modi non lineari sono in numero finito. Si intende ora studiare i due seguenti problemi aperti e di grande rilevanza teorica ed applicativa. A. Studio delle OA in altri contesti fisicamente rilevanti, come: 1) in teorie di campo sul reticolo; 2) in teorie di campo relativistiche. B. Studio degli aspetti statistici della teoria, quando il numero dei modi instabili e' elevato e la teoria deterministica diventa inadeguata.
Quando il proponente ed il Prof. Grinevich hanno iniziato a lavorare sulla teoria delle onde anomale (OA) in natura, uno dei campi di ricerca piu' caldi al momento, erano consapevoli dell'enorme mole di risultati teorici, numerici e sperimentali ottenuti nell'ultimo ventennio in questo ambito. Pur essendosi inseriti solo di recente in questa attivita' di recerca assai interessante e "challanging", l'uso innovativo di tecniche matematiche di natura algebro - geometrica, le piu' adatte a trattare il problema in questione, ha permesso loro di costruire, in un paio d'anni, una teoria analitica delle onde anomale periodiche, raccolta nei risultati [1-5] del proponente, nuova ed elegante, ed in pieno accordo con i risultati numerici e sperimentali (in ottica non lineare ed in idrodinamica) ottenuti sinora. Il conseguente avanzamento delle conoscenze in questo ambito e' gia' riconosciuto da molti dei piu' grossi gruppi di ricerca teorici e sperimentali internazionali che lavorano su queste tematiche. E' ragionevole aspettarsi che l'uso delle stesse potenti tecniche matematiche usate finora, possa garantire un analogo sviluppo di conoscenze nello studio della dinamica delle onde anomale in teorie di campo su reticolo, ed in teorie di campo relativistiche, con potenziali applicazioni tra le piu' varie ed interessanti. L'attuale stato dell'arte, relativo alla dinamica di OA in teorie di campo su reticolo o relativistiche, annovera solo alcuni esempi di soluzioni esatte che descrivono perturbazioni finite del background instabile, senza nessuna conoscenza del loro ruolo in un problema di Cauchy generico, e quindi della loro potenziale rilevanza in natura. Lo stesso dicasi della seconda parte del progetto di ricerca, relativa alla costruzione della teoria delle onde anomale in presenza di un gran numero di modi instabili, quando i risultati analitici prodotti sinora per un numero finito di onde anomale dovranno costituire il punto di partenza di una teoria statistica in grado di fornire, in ultima analisi, formule analitiche che descrivano la probabilita' di formazione di un'onda di ampiezza anomala, attraverso una perturbazione iniziale generica del background instabile. Anche in questo caso, lo stato dell'arte consiste, al momento, di risultati ottenuti o attraverso simulazioni numeriche prevalentemente sull'equazione di Schroedinger non lineare, o attraverso l'analisi statistica di risultati sperimentali, e non hanno nulla di conclusivo.