Il progetto riunisce e coordina le attivita' di ricerca di tre docenti strutturati in Sapienza (D'Ancona, Crasta, Malusa), un dottorando (Schiavone) ed alcuni ricercatori gia' dottorandi o postdoc in Sapienza ed attualmente in servizio presso altri istituti (Cassano a Bari, Cacciafesta a Padova, Luca' e Fanelli a Bilbao).
Il tema della ricerca proposta riguarda lo sviluppo di metodi di analisi reale e armonica per lo studio di equazioni differenziali e modelli della fisica matematica, interessanti per le applicazioni alla fisica teorica, all'ingegneria e alla scienza dei materiali. Fra i modelli ai quali si applicano le nostre tecniche vi sono equazioni di evoluzione nonlineari come le equazioni delle onde, di Schrodinger, di Dirac, di Navier- Stokes, e problemi stazionari ellittici collegati.
Piu' in dettaglio, l'attivita' di ricerca del nostro gruppo riguardera' i temi seguenti:
1. Esistenza globale per equazioni dispersive nonlineari
2. Proprieta' asintotiche per equazioni dispersive lineari
3. Equazioni di Maxwell e modello di Kerr
4. Teoria spettrale per operatori non autoaggiunti
5. Concavità di soluzioni di equazioni ellittiche
6. Problemi di Dirichlet per l'1-Laplaciano
Lo studio di questi problemi richiede lo sviluppo di nuove tecniche di analisi armonica, analisi reale e analisi di Fourier nonlineare, combinate con la teoria classica delle equazioni alle derivate parziali. I modelli studiati sono fra quelli fondamentali della fisica matematica e dell'ingegneria. Il PI e i membri del progetto sono ricercatori attivi, ben inseriti nella comunita' scientifica internazionale, e hanno una esperienza pluriennale nello studio dei problemi proposti nel presente progetto di ricerca.
I temi proposti nel progetto sono tutti di grande attualita' e molti gruppi di ricerca nelle principali sedi internazionali se ne occupano attivamente. Riteniamo che ogni progresso nelle direzioni indicate dal nostro progetto sara' accolto con interesse dalla comunita' scientifica. Uno dei motivi di interesse e' che per risolvere alcuni dei problemi considerati sara' necessario sviluppare tecniche innovative il cui ambito di applicazione non e' limitato allo specifico problema trattato. In particolare, la costruzione di soluzioni globali per equazioni supercritiche affronta un problema completamente aperto, e richiedera' lo studio di stime dispersive e di Strichartz su domini esterni e in presenza di potenziali non integrabili. Lo studio delle proprieta' spettrali di operatori di Maxwell, Schrodinger e Dirac stazionari avra' ricadute su numerosi altri problemi per le corrispondenti equazioni di evoluzione. Anche i risultati previsti di concavita' per il primo autovalore del problema di Robin saranno i primi nel loro genere. Infine, per l'analisi dell'1-laplaciano sara' necessario approfondire questioni fondamentali dell'analisi dei campi vettoriali a divergenza misura.