Lo scopo di questo progetto è l'analisi rigorosa, nell'ambito della meccanica statistica, delle proprietà macroscopiche di "sistemi complessi", intesi come sistemi multicomponenti che mostrano proprietà collettive non riducibili alle proprietà dei singoli componenti. Le principali applicazioni di queste ricerche riguardano le capacità computazionali delle reti neurali, il comportamento dei mezzi amorfi, problemi di accoppiamento ottimo classico e quantistico ed i moti collettivi. Queste indagini richiedono strumenti provenienti da diversi ambiti della matematica, tra cui il calcolo delle variazioni, la teoria della misura, la teoria della probabilità e della statistica matematica.
L'innovatività dei temi di ricerca presentati consiste essenzialmente nel cercare nuovi approcci, tecnici e concettuali, alla risoluzione dei problemi in questione. Di seguito, in dettaglio, i principali aspetti innovativi e le prospettive di progresso.
A.1 Lo studio delle reti multistrato ricorrenti, anche dette macchine di Boltzmann (MB), viene solitamente affrontato mediante metodi pseudo-empirici (e.g., replica-trick) e sotto ipotesi (e.g., simmetria di replica) che semplificano la trattazione matematica ma che non sono soddisfatte in tutto lo spazio del parametri. Ci proponiamo di estendere metodi rigorosi della meccanica statistica dei sistemi disordinati (e.g., stabilità stocastica, campi di cavità) [G, ABT] allo studio delle MB in modo da ottenere una soluzione esatta. Questo permetterà la costruzione di un diagramma di fase che evidenzi le regioni dello spazio dei parametri in cui la macchina può apprendere con successo. Inoltre, sfruttando la dualità tra le MB ed il modello di Hopfield, intendiamo sviluppare e inquadrare all'interno di una teoria matematica algoritmi di apprendimento ottimali rispetto alla complessità computazionale.
A.2 Si cercherà di costruire un ponte rigoroso tra metodi statistici per la riduzione di dimensionalità ed il funzionamento degli autoecoder e tra l'estrazione di caratteristiche (feature) ed il funzionamento delle MB, partendo da esempi sintetici relativamente semplici (serie multivariate ottenute da misure simultanee). I risultati teorici verranno verificati su diversi campioni empirici riferibili a processi stocastici di diversa natura: dati climatici di temperatura, dati medici di bioimpedenza a multifrequenza per composizione corporea, dati da sensori per anomaly detection.
B.1 Si vogliono introdurre nel contesto delle dinamiche di spin gli strumenti della teoria geometrica della misura combinati con stime di grandi deviazioni, che consentirebbero di trattare interfacce non regolari e non convesse.
B.2 Miriamo a provare omogeneizzazione di passeggiate aleatorie su processi puntuali, con ulteriori sorgenti di aleatorietà. Ne applicheremo i risultati per derivare il limite idrodinamico nel caso di interazione tra particelle di tipo hardcore o zero range. Per derivare il comportamento a basse temperature dei coefficienti di trasporto (come la legge di Mott), ci prefiggiamo uno studio
preciso delle proprietà percolative del circuito MA.
B.3 Si propone un nuovo punto di vista per lo studio delle passeggiate aleatorie attivate, quello dei processi di crescita. Combinando tecniche di coupling [LS] con la proprietà Abeliana del modello [DF], si vuole dimostrare che il sistema mostra comportamento critico autorganizzato, proprietà osservata finora solo sperimentalmente.
C.1 La descrizione teorica delle proprietà collettive di stormi, sciami, banchi e greggi è spesso limitata a modelli empirici che non permettono una piena comprensione del fenomeno. Ci si propone di effettuare uno studio rigoroso dei fenomeni collettivi manifestati da questi sistemi, con particolare attenzione ai limiti cinetici e idrodinamici e all'emergenza di fenomeni di flocking, i.e. l'allineamento spontaneo delle velocità nel gruppo di unità interagenti. Si cercherà di estrarre con metodi rigorosi i gradi di libertà fondamentali del sistema e di confermare le previsioni fatte da gruppi di ricerca sperimentali (e.g., [Cav]).
Riguardo le grandi deviazioni, si vuole affrontarne lo studio per un modello paradigmatico di particelle con velocità a valori continui, in assenza di una struttura spaziale, in cui l'interazione prevede la conservazione dell'impulso (modello tipo Kac). Si vuole inoltre analizzare la connessione tra formulazione mediante flusso gradiente di equazioni cinetiche e grandi deviazioni.
Infine, si vuole studiare il limite idrodinamico per equazioni cinetiche con condizioni al bordo non-omogenee. In particolare si vogliono analizzare sistemi che, macroscopicamente, esibiscono una superdiffusione di energia, quando sono a contatto con termostati a temperature differenti.
C.2. Ci proponiamo di studiare l'evoluzione della vorticità per l'equazione di Eulero in R^3 con simmetria assiale, nel caso in cui la vorticità iniziale è concentra in N piccole regioni molto distanti dall'asse di simmetria. Vogliamo mostrare rigorosamente che, al di sopra una certa distanza critica dall'asse, l'evoluzione di questo sistema è vicina alla dinamica del caso planare, mentre al di sotto i vortici evolvono compiendo dei moti rettilinei uniformi parallelamente all'asse di simmetria.
Un'altra linea di ricerca si riferisce alla generalizzazione dell'equazione di Eulero (Modified Surface Quasi-Geostrophic equation) in due dimensioni, che trova applicazioni in geofisica e meteorologia.
D.1 E' noto l'andamento asintotico dell'accoppiamento [AST]. Rimane aperto il problema della correzione di ordine successivo.
D.2 Il trasporto di qubit può aiutare la comprensione nel caso quantistico.