La scoperta di von Klitzing del 1980 del Quantum Hall Effect ha aperto la strada allo studio degli isolanti topologici, ossia materiali che presentano la struttura a bande tipica di un isolante ma che possono supportare stati di conduzione topologicamente protetti al bordo. Gli stati di bordo sono investigabili, grazie al principio della corrispondenza bulk-edge, studiando le proprietà di bulk del sistema, cioè considerandolo come sistema infinitamente esteso e senza bordi.
Questo progetto si costituisce di due obiettivi principali, legati a due tipi differenti classi (secondo la classificazione di Cartan-Altland-Zirnbauer basata sulle simmetrie del sistema) di isolanti topologici: da un lato si vuole estendere la "localization dichotomy" per isolanti di classe A (Obiettivo (1)), dimostrata nel 2016 da Monaco, Panati, Pisante e Teufel, al caso di sistemi quantistici disordinati; dall'altro si vogliono studiare le equazioni semiclassiche per il trasporto di spin per sistemi quantistici periodici appartenenti alla classe AII (Obiettivo (2)), con lo scopo di ottenere una comprensione più completa del Quantum Spin Hall Effect da un punto di vista di pompaggio adiabatico come mostrato da Fu e Kane nel 2006.
Sebbene riguardanti sistemi appartenenti a due classi differenti, i due obiettivi sono strettamente legati. Nel primo caso l'obiettivo è quello di legare proprietà di localizzazione del sistema quantistico a proprietà di trasporto macroscopiche e sperimentalmente accessibili, in modo da poter caratterizzare le fasi topologiche a partire da proprietà di localizzazione delle funzioni di Wannier generalizzate. Nel secondo caso invece, si intendono analizzare le proprietà di trasporto del sistema dimostrando prima l'emergere di equazioni di evoluzione effettive e, successivamente, studiando l'influenza della fase topologica nel trasporto semiclassico degli elettroni dotati di spin nel caso di sistemi che vengono perturbati ciclicamente e adiabaticamente nel tempo.
Recenti scoperte nella fisica dello stato solido stanno sfidando la comunità fisica-matematica, che mira a un obiettivo ambizioso: la comprensione matematica - basata su modelli fondamentali - di una varietà di nuovi fenomeni, dal trasporto anomalo nei solidi aperiodici, alle sorprendenti proprietà di conducibilità del grafene e dei semimetalli di Weyl, all'emergere di fasi esotiche e topologicamente ordinate nella materia macroscopica.
Il progetto presentato si inserisce in questo contesto. La previsione teorica e la successiva scoperta degli isolanti topologici hanno fatto da motore per lo sviluppo di nuove teorie e di nuove tecniche matematiche per permettere una descrizione coerente e rigorosa dei fenomeni osservati.
Nello specifico, per quanto riguarda gli isolanti topologici di classe A (1), la cui importanza nella comunità scientifica è stata ufficializzata dal premio Nobel per la fisica nel 2016, la teoria fisica-matematica è ormai consolidata. Sul legame tra le funzioni di Wannier generalizzate e le proprietà di trasporto attualmente non ci sono articoli in letteratura. La dimostrazione di questo fatto permetterebbe lo sviluppo di nuove applicazioni, sia dal punto di vista teorico, come ad esempio la superconduttività topologica in presenza di disordine, sia dal punto di vista computazionale, visto il largo uso delle funzioni di Wannier periodiche nelle tecniche di simulazione.
Per quanto riguarda il trasporto negli isolanti topologici di classe AII (2), essendo questi ultimi molto più recenti, la situazione è molto più acerba ma al contempo più stimolante dal punto di vista scientifico. Al momento attuale non esiste una spiegazione completa e universalmente accettata, che comprenda anche le situazioni nelle quali lo spin del sistema non sia conservato, del fenomeno del Quantum Spin Hall Effect. Lo studio delle equazioni semiclassiche in questo contesto, risulta essere un obiettivo molto ambizioso ma promettente: anche un piccolo risultato in questa direzione potrebbe dare un importante contributo nella comprensione degli isolanti topologici di classe AII e dell'invariante Z2 a loro collegato.