Lo sviluppo di tecnologie e dispositivi elettronici ha favorito l'uso di varie tecniche di indagine non invasiva in campi quali la medicina, la biologia e i beni culturali. Tali dispositivi misurano grandezze relative all'oggetto in studio, restituendole in forma di segnali multidimensionali. Per favorire una corretta interpretazione del dato acquisito, è necessario organizzare e ridurre la mole di informazione, eliminando ridondanze, determinando correlazioni e dipendenze, in modo da condurre le successive fasi di analisi ed elaborazione solo su un numero limitato di elementi significativi. Operazioni che non possono prescindere dalla tipologia del dato, dal metodo di acquisizione e dal tipo di misura.
Il presente progetto di ricerca intende affrontare da un punto di vista probabilistico e numerico il problema dell'estrazione e della rappresentazione compatta dell'informazione, al fine di favorire un'interpretazione coerente e sistematica dei dati e offrire strumenti computazionali efficienti che siano di supporto agli esperti del settore specifico di applicazione. In particolare, si studieranno e definiranno, da un lato, opportuni spazi di approssimazione per i dati in esame che rispondano ai principi di sparsità e multirisoluzione propri della teoria delle basi wavelets, dall'altro, procedimenti iterativi computazionalmente efficienti per la soluzione di problemi inversi mal posti, in cui l'informazione è parziale o incerta.
La definizione della base ottima di rappresentazione di una funzione è un problema aperto e ben noto in letteratura. Infatti, le proprietà locali di una funzione (regolarità, contenuto spettrale, spettro di singolarità, etc.) sono difficilmente approssimabili in modo efficiente in un unico spazio di approssimazione e con un costo computazionale adeguato. Poiché la trasformata wavelet fornisce una rappresentazione compatta di funzioni sia nel tempo che nella frequenza, caratterizza i punti di singolarità nel piano spazio-scala e richiede un costo di calcolo molto basso, si costruiranno nuove basi di funzioni wavelet in grado di rappresentare le componenti significative di una funzione con pochi coefficienti non nulli effettuando, allo stesso tempo, un processo di ulteriore correlazione dei dati in base a informazioni a priori. In questo modo si ha il vantaggio di adattare maggiormente la trasformata ai dati ed estrarre elementi caratteristici con semplici operazioni di selezione dei coefficienti di interesse, eventualmente adattate alla risoluzione di analisi. Un risultato fondamentale che permette di dedurre le proprietà di una wavelet è il teorema di fattorizzazione: ogni wavelet si rappresenta come convoluzione tra una B-spline frazionaria e una distribuzione. La Bspline definisce la regolarità della base, il numero di vanishing moments, le proprietà di differenziabilità. La parte residua è responsabile delle proprietà locali; pertanto, è possibile costruire famiglie di wavelet con proprietà di localizzazione specifiche agendo su questo termine. Sarà questa la chiave che permetterà di costruire funzioni wavelet e metodi numerici disegnati specificatamente per i problemi applicativi di nostro interesse. Pertanto, schemi di codifica, retrieval o estrazione di caratteristiche basati su tali rappresentazioni potranno essere più efficaci degli standard attuali, anche computazionalmente, garantendo elaborazioni semplici e non costose dei dati, favorendo il loro uso in applicazioni real time, per esempio su dispositivi portatili. Da non trascurare il potenziale uso di tali wavelet per la definizione di vincoli di tipo sparsità nella soluzione di problemi inversi mal posti, con applicazioni in campi quali medicina, neuroscienze, telerilevamento. beni culturali. Non va trascurato il fatto che proprietà quali adattività, compressibilità e implementazione semplice ed efficiente contribuiranno ad un uso più diffuso dei metodi multiscala di tipo frazionario, per esempio i metodi di collocazione, nella soluzione numerica di problemi differenziali frazionari.
Gli studi che si condurranno sulle relazioni tra il sistema visivo umano e l'analisi multirisoluzione sono orientati a definire una nuova trasformata multiscala basata sul fruitore (occhio). L'obiettivo è quello di fornire la suddivisione in regioni operata dall'occhio durante il processo di osservazione di una scena. Pertanto, poiché il processo di visione non è descrivibile in modo completo da operazioni dell'analisi classica, il concetto di regolarità funzionale dovrà essere esteso a quello di regolarità visiva. La trasformata dovrà basarsi sull'individuazione dei punti di osservazione dell'occhio e sull'attribuzione di una priorità e/o importanza agli oggetti presenti nella scena. Un processo che identifichi in modo automatico non solo le regioni più importanti ma anche l'ordine temporale con il quale vengono elaborate nel processo pre-attentivo, può semplificare la codifica dell'informazione della scena e facilitarne la caratterizzazione e la memorizzazione in sistemi di retrieval.
La regolarizzazione di Tikhonov è lo strumento più impiegato nella soluzione di problemi inversi. Tuttavia, se la matrice di regolarizzazione non è unitaria, è necessario trasformare il problema in forma standard attraverso procedure che richiedono un alto sforzo computazionale. Inoltre, la determinazione di un valore adeguato per il parametro di regolarizzazione per il problema in forma standard è problematico nel caso in cui l'operatore di regolarizzazione è diverso dall'identità. Quando l'incognita ha un gran numero di componenti, risulta vantaggioso usare un metodo sub-iterativo di Krylov con opportuni criterio di arresto e precondizionatore. In questo progetto, il precondizionatore sarà costruito sulla base di un modello Bayesiano (prior opportuna). Lo studio dei cambiamenti degli spazi fondamentali del procedimento iterativo indotti dal condizionatore permetteranno di definire condizionatori più adeguati al problema, garantendo maggiore precisione nella soluzione e ridotto tempo di calcolo. In particolare, si farà riferimento alla soluzione del problema MEG inverso e i risultati saranno classificati mediante adeguate tecniche di tipo.