Il gruppo di ricerca riunisce competenze di tipo analitico e numerico con l'obiettivo di affrontare lo studio di alcuni modelli differenziali di tipo evolutivo di interesse in vari ambiti applicativi quali la teoria del controllo ottimo, i giochi differenziali, la biomedicina, il flusso di gas, lo studio di materiali granulari ed il trattamento delle immagini. Nelle ricerche che si intendono intraprendere faremo riferimento alle soluzioni deboli nel senso di viscosità per equazioni di tipo Hamilton-Jacobi del primo ordine e del secondo ordine ed alle soluzioni deboli nel senso delle distribuzioni per i problemi iperbolici/parabolici.
Le equazioni e gli ambiti modellistici oggetto di questa ricerca, oltre ad essere terreno di applicazione per alcuni metodi teorici e numerici già sviluppati, offrono spunti e motivazioni per progressi in settori matematici di attualità come l'analisi della convergenza e della stabilità per i metodi di ordine alto per equazioni non lineari, l'approssimazione di soluzioni discontinue, lo sviluppo di algoritmi rapidi (attraverso metodi paralleli, decomposizione di dominio e riduzione di modello).
Il progetto si articola in una parte metodologica nella quale vengono sviluppati gli strumenti analitici e di approssimazione numerica che vengono poi utilizzati in vari ambiti applicativi trattando i modelli ed i problemi con un forte impatto sulle ricerche in quegli ambiti. Il progetto si articola sinteticamente su questi temi:
1. PARTE METODOLOGICA
1.1 Sviluppo di modelli cinetici in gas dinamica e applicazioni.
1.2 Metodi analitici e numerici per equazioni di Hamilton-Jacobi
1.3 Metodi numerici basati sulla trasformata di Laplace
1.4 Metodi numerici per l¿analisi di reti complesse e il trattamento di immagini
2. PARTE APPLICATIVA
2.1 Controllo e giochi differenziali
2.2 Materiali granulari
2.3 Metodi numerici per problemi multiscala
2.4 Schemi a larghi passi in tempo per equazioni di reazione diffusione trasporto
Questo progetto riunisce competenze diverse per lo studio di problemi evolutivi descritti da equazioni nonlineari, che possono avere termini non locali oppure possono essere caratterizzati da scale diverse.
I contributi proposti nel progetto riguardano sia aspetti di modellistica che aspetti numerici, in un approccio multidisciplinare che unisce l'analisi numerica classica con problemi tratti dalla matematica delle applicazioni.
Le tecniche proposte si basano su risultati recenti nell'ambito delle equazioni alle derivate parziali non lineari di tipo iperbolico e parabolico e della loro approssimazione numerica.
Per la parte metodologica, il progetto si concentra sulle equazioni di Hamilton-Jacobi nell'ambito della teoria delle soluzioni di viscosità, sui sistemi iperbolici e cinetici e sulle equazioni dispersive e paraboliche degeneri. Questi temi sono tuttora al centro di una intensa attività in ambito internazionale come è testimoniato dal finanziamento di alcuni progetti ERC e di network europei su temi vicini. I ricercatori del progetto sono o sono stati coinvolti nelle ricerche internazionali all'interno di vari progetti e network, sia a livello europeo che internazionale.
Per quanto riguarda le applicazioni, i temi proposti sono molto innovativi e si collocano alla frontiera delle ricerche attuali soprattutto per quanto riguarda le applicazioni in ambito socio-economico (mean field games, modelli di traffico su reti, giochi differenziali con molti agenti), biomedico (crescita tumorale e strategie di controllo e cura) ed ai problemi di propagazione ondosa (scattering). Le applicazioni al trattamento delle immagini si basano su ricerche avanzate sia nell'ambito dei modelli differenziali non lineari e della loro approssimazione, che in quello della algebra lineare numerica. Il gruppo di ricerca, con le sue varie competenze, dà garanzie di successo su molti di questi temi.
Si prevede di utilizzare parte dei fondi per organizzare un workshop/scuola, dedicato ai temi trattati.
Seminari
Proseguirà come ogni anno il ciclo di seminari "Modellistica Differenziale Numerica" attivo da più di dieci anni presso il Dipartimento di Matematica (info alla pagina WEB www.mat.uniroma1.it/ricerca/seminari/mdn), che verrà finanziato in parte con i fondi di questo progetto.
Bibliografia essenziale
[BK13] M. Benzi and C. Klymko, Total communicability as a centrality measure, Journal of Complex Networks 1 (2013), pp. 124-149.
[C00] A. Chatterjee Current Science 78, (2000), pp. 808-817
[DP14] G. Dimarco and L. Pareschi. Numerical methods for kinetic equations. Acta Numerica, pages 1¿137-2014.
[E11] E. Estrada, The Structure of Complex Networks: Theory and Applications, Oxford University Press, Oxford, 2011.
[FT17] D. Fasino and F. Tudisco, A modularity based spectral method for simultaneous community and anti-community detection, Linear Algebra Appl., 542 (2017), pp. 605-623.
[LL06] J-M. Lasry, P-L. Lions (2006). Jeux champ moyen. II. Horizon fini et controle optimal. C. R. Math. Acad. Sci. Paris 343, 679-684.
[LLS08] M. Lopez-Fernandez, C. Lubich and A. Schädle, Adaptive, fast and oblivious convolution in evolution equations with memory, SIAM J. Sci. Comput. 30 (2008), 1015¿1037.
[MT01] G.N. Milstein and M.V. Tretyakov. Numerical solution of the Dirichlet problem for nonlinear parabolic equations by a probabilistic approach. IMA Journal of Numerical Analysis, 21:887¿ 917, 2001.
[QV99] A. Quarteroni and A. Valli, Oxford University Press, New York, 1999
[Sa16] F.-J. Sayas. Retarded Potentials and Time Domain Boundary Integral Equations. Springer Series in Computational Mathematics, 50, 2016.
[TVH11] A. Taylor,J. K. Vass, and D. J. Higham, Discovering bipartite sub-structure in directed networks, LMS J. Comput. Math., 14 (2011), pp. 72-86.