Il presente progetto di ricerca riguarda varie questioni matematiche sulla modellizzazione e l'analisi dei sistemi in equilibrio, degli stati di energia minima e della dinamica verso tali stati.
Casi prototipo di interesse sono i modelli variazionali per singolarità topologiche e transizioni di fase, e i corrispondenti flussi gradiente delle energie nei sistemi fisici presi in esame.
In molti contesti applicati le proprietà fisiche macroscopiche sono influenzate da difetti del materiale, o da singolarità dei campi e delle quantità fisiche rilevanti. E' questo il caso delle dislocazioni nei cristalli, che sono difetti di linea nella struttura periodica cristallina e costituiscono il meccanismo microscopico della plasticità nei metalli, e delle disclinazioni nei cristalli liquidi, che sono singolarità dell¿orientazione media (difetti ottici) rilevabili sperimentalmente.
Per una migliore comprensione di tali fenomeni è necessario sviluppare un'analisi multiscala specifica, ed il calcolo delle variazioni si rivela uno strumento particolarmente adatto a questo scopo, fornendo una spiegazione efficace di fenomeni di rilassamento e omogeneizzazione, e della formazione di microstrutture. Negli ultimi anni l'ambito dei metodi variazionali è stato esteso con profitto alle evoluzioni temporali di sistemi fisici tramite metodi di discesa di gradiente, spesso realizzabili come limiti di minimizzazioni iterative. Intendiamo sviluppare queste tecniche in vari ambiti, quali propagazione di dislocazioni nei metalli, evoluzioni di interfacce e moti geometrici. Nel corso del progetto si prevede di organizzare una scuola orientata a dottorandi e giovani ricercatori. Inoltre, prevediamo di invitare vari studiosi stranieri ed italiani per collaborazioni scientifiche e seminari. I componenti dell¿unità prevedono di partecipare a vari convegni internazionali in cui verrano presentati i progressi ottenuti. È infine previsto di bandire un assegno di ricerca sui temi del progetto.
Le linee di ricerca perseguite dal gruppo si inseriscono in un contesto internazionale, nello sforzo comune di sviluppare modelli macroscopici matematicamente rigorosi senza trascurare l'aspetto modellistico ed applicativo delle teorie in esame.
Descriviamo di seguito alcuni aspetti di maggiore innovatività e impatto modellistico del presente progetto.
Nello studio dei modelli con difetti una analisi più raffinata punta a studiare problemi che possano includere pluri-cristalli, a scala macroscopica. Un importante questione è per esempio quella dei grain-boundaries o degli stacking faults. Questo tipo di
fenomeni hanno un grande interesse nelle applicazioni e sono lo scopo del graduale avanzamento della ricerca degli ultimi anni in questo campo, ma non sono ancora descrivibili in modo rigoroso con i risultati oggi noti. I modelli proposti hanno questa potenzialità. Contengono alcuni ingredienti essenziali come per esempio l¿invarianza rispetto alle rotazioni e hanno la possibilità di essere trattati al livello completamente discreto (includendo diversi tipi di difetti).
Rispetto al modello di Frank-Oseen per i cristalli liquidi con le relative singolarità topologiche di tipo vortice, il modello di Landau-de Gennes presenta strutture più complesse che richiedono tecniche più complicate, in parte ancora da individuare. Anche restringendosi a configurazioni a simmetria assiale occorre riesaminare tanto la teoria di regolarità quanto l'analisi qualitativa delle singolarità. Il ruolo giocato dalle strutture topologiche complesse, la cui esistenza è per la prima volta mostrata solo recentemente, sembra essere molto più sottile rispetto agli altri modelli, in quanto diverse strutture topologiche sembrano rappresentare correzioni di ordine inferiore nell'andamento dell'energia dei minimi, dunque ancora tutto da comprendere.
Per quanto riguarda l'analisi di funzionali nonlocali, la principale novità consiste nell'estendere tali funzionali al caso di interazioni non integrabili, tramite opportune procedure di rinormalizzazione dell'energia, come fatto recentemente dal gruppo di ricerca per la definizione della s-perimetro frazionario nel caso $s=0$.
Modelli di cristallizzazione vettoriale per descrivere la formazione di branchi sono stati più volte considerati nella comunità scientifica, ma la loro rigorosa analisi matematica,
la descrizione dei minimi ed i corrispondenti problemi di cristallizzazione appaiono tutt'ora da sviluppare.
Per quanto riguarda lo studio dei flussi geometrici, gli aspetti di maggiore innovatività risiedono nell'estensione dei risultati di esistenza, unicità e approssimazione di flussi geometrici al caso di codimensione alta, e di energie anisotrope e non-locali. È ben noto che in codimensione alta molti degli strumenti analitici alla base dei risultati classici, come principi del massimo e di confronto, non sussistono, ed appare necessario individuare strumenti nuovi e specifici. In particolare, l'estensione del metodo dei movimenti minimizzanti [ATW93] al caso di codimensione alta costituirebbe un estensione notevole della teoria nota al caso di evoluzione geometrica di oggetti sottili, quali sono le linee di dislocazione in tre dimensioni.
Rispetto al flusso per curvatura media sub-Riemaniano, il flusso inverso presenta notevoli complicazioni, dovute alla combinazione tra la degenerazione dello spazio e la degenerazione dell'equazione. Per ovviare a questa difficoltà si cerca di migliorare stime di gradiente note nel caso Riemanniano per renderle uniformi nel passaggio al caso sub-Riemanniano.
Negli ultimi anni il crescente interesse per problemi di Machine Learning ha fatto emergere la necessità di sviluppare una teoria a sostegno delle applicazioni. L¿obiettivo di questa ricerca è dunque affrontare in modo sistematico tutte le problematiche relative alla descrizione macroscopica di perturbazioni di famiglie di tipo-convoluzione partendo dalla descrizione del problema limite (compattezza e rappresentazione integrale) per poi descriverlo più dettagliatamente nell¿ambito dell¿omogeneizzazione periodica, stocastica e dei modelli di points clouds. Lo sviluppo di una teoria variazionaIe per funzionali di tipo-convoluzione rigorosa dal punto di vista matematico ed esaustiva darebbe un ulteriore e significativo impulso alle applicazioni.
Le tematiche illustrate nel progetto richiedono uno sviluppo profondo delle tecniche note in letteratura, per trattare la complessità dei modelli In questione; in particolare lo studio delle proprietà geometriche degli insiemi in codimensione alta e delle soluzioni vettoriali dei problemi variazionali, temi questi che rientrano in una classe di problemi di ampio respiro e di interesse per una vasta comunità matematica.