Lo scopo della ricerca è quello di risolvere il problema dell'entropia minimale per ogni 3-varietà chiusa, orientabile e non geometrica (cioè che non ammetta una metrica completa localmente isometrica ad una delle 8 geometrie modello).
Assieme ai lavori di Besson, Courtois, Gallot per gli spazi localmente simmetrici, e di Soma, Gromov et.al. sul volume simpliciale delle 3 varietà e la sua relazione con l'entropia, questo darebbe un quadro completo del problema dell'entropia minimale per tutte le 3 varietà chiuse e orientabili.
Successivamente, ci proponiamo di dimostare un teorema di pinching, che asserisca che una 3-varietà che ammette una successione di metriche di diametro uniformemente limitato e le cui entropie volumiche tendono al valore dell'entropia minimale è una varietà iperbolica.
La nostra ricerca è volta a fornire una soluzione del problema dell'entropia minimale nel caso delle 3-varietà chiuse non geometriche. La questione del calcolo di questo invariante asintotico è stata sollevata già negli anni '90 ( J. Souto approccia il problema nella sua tesi di dottorato, non pubblicata) e 2000 [1], e sono state formulate congetture ---non sempre concordi--- sul suo valore.
La soluzione del problema ha una rilevanza intrinseca, in quanto assieme ai risultati di Besson-Courtois-Gallot per gli spazi localmente simmetrici [2]-[3]-[4] ed ai lavori di Gromov [5], Soma [6] et. al. fornirebbe una soluzione completa del problema dell'entropia minimale nel contesto delle 3-varietà.
Oltre a questo, per risolvere problemi collaterali che si presentano nelle varie fasi in cui si articola la dimostrazione si è reso necessario lo sviluppo di tecniche e procedure inedite, che risultano essere interessanti di per sé e che ci hanno suggerito possibili sviluppi per le tappe successive della nostra ricerca.
Citiamo, tra le altre, la costruzione esplicita di una successione di metriche riemanniane su una generica 3-varietà, aventi curvatura sezionale compresa tra -1 e 0, volume che
tende alla somma dei volumi delle componenti JSJ iperboliche (dotate della metrica completa di volume finito) ed entropia volumica uniformemente limitata.
Inoltre, per completare la dimostrazione della stima dal basso dell'entropia nel caso riducibile, abbiamo generalizzato la nozione classica di baricentro introdotta da Besson, Courtois e Gallot ([2]-[3]-[4]) ad uno spazio CAT(0) singolare, estendendo questa tecnica ad un contesto più ampio di quello noto fino ad oggi dalla letteratura.
Durante il primo anno e mezzo di dottorato, oltre ad apprendere e padroneggiare i principali strumenti che ritenevamo utili per dimostrare il risultato da noi congetturato, abbiamo mosso passi rilevanti nella direzione della soluzione del primo problema proposto per la tesi. Di fatto, un articolo con la dimostrazione del calcolo dell'entropia minimale per le 3-varietà chiuse, orientabili e non geometriche è in fase di stesura.
Più dettagliatamente:
- Abbiamo dimostrato la stima dall'alto ottimale dell'entropia minimale. Ispirandoci al lavoro di Leeb [7], abbiamo costruito in modo esplicito una successione di metriche riemanniane su ciascuno dei pezzi della decomposizione JSJ, con le proprietà descritte sopra. Successivamente, abbiamo ottenuto la stima dall'alto anche per le 3-varietà chiuse, orientabili e riducibili tramite il calcolo di una serie di Poincaré.
- Abbiamo dimostrato la stima dal basso ottimale dell'entropia minimale. Per portare a termine questa seconda fase, abbiamo utilizzato la tecnica del baricentro introdotta da Besson-Courtois-Gallot ([2], [3],[4]), in sinergia con la successione di metriche riemanniane costruita in modo esplicito al passo precedente. Per trattare il caso delle varietà riducibili, abbiamo generalizzato la tecnica del baricentro al contesto degli spazi CAT(0), una classe di spazi metrici che contiene, in particolare, le varietà riemanniane di curvatura non positiva. Questa costruzione non è nota in letteratura, e apre nuove prospettive per quanto riguarda l'impiego della tecnica del baricentro a contesti fino ad ora mai indagati con questo tipo di strumento.
Infine, i passi intermedi dimostrati fino ad ora ci hanno suggerito un possibile approccio alla soluzione di un problema di pinching. Più precisamente ci proponiamo, utilizzando ancora la tecnica del baricentro e sfruttando la successione di metriche descritta sopra, di dimostrare che una 3-varietà che ammetta una successione di metriche riemanniane di diametro limitato e la cui entropia converga al valore minimale, è una varietà iperbolica.
BIBLIOGRAFIA
[1]J W. Anderson and G. P. Paternain, "The minimal entropy problem for 3-manifolds with zero simplicity volume", 2003
[2] G. Besson, G. Courtois, S. Gallot, "Entropies at rigidités des espaces localement symétriques de courbure strictement négative", Geometric and functional analysis, 731-799, 1995
[3] G. Besson, G. Courtois, S. Gallot, "Lemme de Schwarz réel at applications géométriques", Acta MAthematica, 145-169, 1999
[4] G. Besson, G. Courtois, S. Gallot, "Minimal entropy and Mostow rigidity theorem", Ergodic Theory and Dynamical Systems 16.04 (1996): 623-649.
[5] M. Gromov, "Volume and bounded cohomology", Publications Mathématiques de l'IHéS, 5-99, 1982
[6] T. Soma, "The Gromov invariant for links", Invent. Math. (64), 1986
[7] B. Leeb, "3-manifolds with(out) metrics of nonpositive curvature", Inventiones mathematicae, 277-289, 1995