Lo scopo della ricerca è il trattamento di modelli decisionali dinamici basati su processi stocastici atti a rappresentare anche dati non omogenei o anomali.
L'interesse per tali processi deriva da applicazioni legate a serie finanziarie con salti, alla ricostruzione di immagini biomediche e allo studio della radiazione cosmica di fondo nella teoria spiegata dal modello del Big Bang.
Obiettivi della ricerca sono la costruzione di un modello atto a rappresentare la dinamica di tali fenomeni aleatori e di studiare l'identificabilità del modello.
Tale studio riguarderà anche modelli con variabili latenti e il ruolo di tali variabili al fine di studiare le indipendenze condizionate e dunque interpretare i fenomeni di interesse.
Qualora il modello risulti non identificabile si studieranno le regioni di parziale identificabilità e dunque gli inviluppi di probabilità associati e i modelli decisionali basati su le cosi dette multi-priors, come I modelli Choquet expected utility. Tali modelli vogliono ad esempio essere usati anche in ambito biomedico dove spesso l'informazione è imprecisa e dunque sembra naturale applicare modelli multi-priors.
Dal punto di vista applicativo, ci proponiamo di studiare modelli decisionali dinamici e si vuole dare un apporto a quei modelli dove si studiano in particolare I seguenti concetti: ambiguità e incertezza.
Nelle analisi che ci proponiamo di affrontare, i processi allo studio sembrano essere adatti a rappresentare la diversa natura delle variabili di interesse e del rumore nei sui molteplici aspetti presente nei dati. Discriminare sulla natura dell'errore presente nelle osservazioni contribuisce a determinare modelli che meglio descrivono i dati nel senso che meglio permettono di identificare e quindi eliminare le componenti di rumore.
Dal punto di vista teorico, il primo aspetto innovativo di interesse è legato ai problemi per gestire l'ambiguità tramite inviluppi di probabilità. In tale ambito alcuni risultati in questa direzione sono gia' stati ottenuti da Vantaggi [1,5].
Un secondo aspetto è legato ai problemi di interfaccia sulla sfera (comportamenti su regioni irregolari). I processi considerati possono avere comportamenti diversi sul bordo di certi sottoinsiemi della sfera, appunto legati alle condizioni di trasmissione. E' noto come rappresentare dei moti irregolari (o anomali) su una regione, ad esempio su un sottoinsieme aperto della sfera. Si deve introdurre un tempo aleatorio che modifica le traiettorie del processo in quella specifica regione (o sottoinsieme dello spazio degli stati del processo). Il problema che ci proponiamo di affrontare comporta una serie di difficoltà tecniche: se il bordo è visto come una membrana semipermeabile ad esempio, si deve introdurre una riflessione (normale) sui punti del bordo e la definizione di derivata normale vale per quasi tutti i punti tranne un insieme trascurabile, questo è il caso in cui il bordo non sia sufficientemente liscio, ad esempio Lipschitziano. Il moto di una particella descritto da una diffusione anomala può essere assimilato ad una analisi di tipo macroscopico, l'osservatore percepisce delle anomalie nel moto (rallentamenti o accelerazioni improvvise) e associa tale comportamento esclusivamente al processo. Volendo passare ad una analisi microscopica, l'osservatore potrebbe associare il moto irregolare della particella non al processo ma al mezzo nel quale avviene il moto (in alcuni casi potremmo parlare del mezzo in cui avviene la diffusione), il processo quindi è irregolare ma si sta muovendo in una regione irregolare (ad esempio un pre-frattale o un frattale, cioè una regione con bordo non liscio). Il processo (la particella) è disturbata nel suo movimento dalla struttura irregolare del mezzo, una causa esogena e non endogena come poteva essere un moto anomalo introdotto dal processo stesso. Tali problematiche teoriche verranno applicate nei due ambiti cosmologico e biomedico.