La maggior parte dei modelli di pricing (e.g., Cox-Ross-Rubinstein, Black-Scholes e Heston) assumono che l'incertezza (sia in ambito "real world" che "risk-neutral") sia quantificata attraverso un'unica misura di probabilità. Tuttavia, in molte situazioni, la presenza di informazioni parziali, l'incompletezza dei mercati o la presenza di frizioni, comporta il dover lavorare con classi di probabilità o con inviluppi di probabilità.
L'obiettivo della ricerca è quello di studiare modelli per mercati non completi partendo dai modelli n-nomiali con n maggiore di 2, che sono caratterizzati dall'esistenza di infinite misure martingala equivalenti. Per non perdere informazioni, è rilevante considerare tutta la classe.
L'esistenza di una classe di misure martingala equivalenti, e dunque di una classe di misure di probabilità, suggerisce l'introduzione di pricing rules non-lineari, che permettono di modellare frizioni nel mercato. Ciò può essere perseguito utilizzando gli inviluppi delle misure di probabilità e, in particolare, le belief functions. Lo scopo è, quindi, l'elaborazione di modelli di pricing direttamente rispetto ad una misura "risk-neutral" che non è più una probabilità, ma una belief function. In questi casi si potrà assumere un operatore di pricing basato su un valore atteso di Choquet.
Uno degli scopi del progetto è la generalizzazione della classica definizione di arbitraggio in modo che l'assenza di arbitraggi assicuri l'esistenza di un operatore non-lineare, come quello sopra citato. Altro scopo è lo studio di una nuova nozione di completezza del mercato che assicuri l'unicità.
Se da un lato l'incorporazione dell'ambiguità nei modelli permette di incrementare la loro capacità espressiva, da un altro lato, il prezzo da pagare è una maggiore complessità. Di conseguenza, si rende necessario sviluppare degli appositi metodi numerici e computazionali efficienti.
Il progetto si propone di ampliare un modello di pricing classico come il CRR (Cox, Ross, Rubinstein), prima in condizioni di incompletezza e poi in un contesto di misure non additive come le belief functions. Nello specifico, si considererà un modello n-nomiale immergendolo nel framework delle belief functions, ponendo l'attenzione sull'estensione al caso multi-periodale per il quale riveste particolare importanza la proprietà di time consistency.
La letteratura esistente, sebbene abbia approfondito il legame fra pricing e ambiguità, non ha approfondito l'analisi dell'insieme di misure martingala equivalenti ottenute da un modello n-nomiale (quindi incompleto). Il progetto vuole studiare tale aspetto, mantenendo la frizionalità causata dal lavorare con l'intera classe di misure martingala equivalenti.
Quindi si intende applicare la ricerca già nota in termini di probabilità imprecise ed arrivare non ad un pricing unico, ma ad un intervallo di prezzi, i cui estremi sono calcolati come Choquet expectation.
Inoltre il progetto intende formulare direttamente un modello binomiale a più tempi (e di seguito n-nomiale) nel framework delle belief functions in analogia a quanto fatto in [Kast,Lapied,Roubaud (2014)], ma adottando un processo di tipo moltiplicativo.
Il tema è già di interesse, e di recente, in [Lécuyer,Lefort (2021)], sono state applicate particolari capacità (generalized neo-additive capacities), espresse come combinazione fra un parametro e una probabilità, al pricing con Choquet.
Lécuyer E., Lefort J.P., "Put-call parity and generalized neo-additive pricing rules." Theory Decis 90, 521-542, 2021.