Il gruppo di ricerca riunisce competenze di tipo analitico e numerico con l'obiettivo di affrontare lo studio di alcuni modelli differenziali di tipo evolutivo di notevole interesse in vari ambiti applicativi quali la teoria del controllo ottimo, i giochi differenziali, la biomedicina, lo studio dei materiali granulari ed il trattamento delle immagini. Sul piano metodologico, nelle ricerche che si intendono intraprendere faremo riferimento alle soluzioni deboli nel senso di viscosità per equazioni di tipo Hamilton-Jacobi del primo ordine e del secondo ordine ed alle soluzioni deboli nel senso delle distribuzioni per i problemi iperbolici/parabolici.
E' importante sottolineare che le equazioni e gli ambiti modellistici oggetto di questa ricerca, oltre ad essere terreno di applicazione per alcuni metodi teorici e numerici già sviluppati, offrono spunti e motivazioni per progressi e sviluppi in settori matematici di attualità come l'analisi della convergenza e della stabilità per i metodi di ordine alto per equazioni non lineari, l'approssimazione di soluzioni discontinue, lo sviluppo di algoritmi rapidi (attraverso metodi paralleli, decomposizione di dominio e riduzione di modello).
Il progetto si articola in una parte metodologica nella quale vengono sviluppati gli strumenti analitici e di approssimazione numerica che vengono poi utilizzati in vari ambiti applicativi trattando i modelli ed i problemi con un forte impatto sulle ricerche in quegli ambiti. Il progetto si articola sinteticamente su questi temi:
1. PARTE METODOLOGICA
1.1 Metodi analitici e numerici per equazioni di Hamilton-Jacobi
1.2 Metodi analitici e numerici problemi di reazione-diffusione
1.3 Metodi numerici basati sulla trasformata di Laplace
1.4 Metodi numerici di regolarizzazione per problemi lineari mal posti discreti
2. PARTE APPLICATIVA
2.1 Controllo e giochi differenziali
2.2 Materiali granulari
2.3 Trattamento delle immagini
2.4 Bio-medicina
Questo progetto riunisce competenze diverse per lo studio di problemi evolutivi che si caratterizzano per la presenza di termini nonlineari e/o per la presenza di termini non locali. Da questo punto di vista le tecniche proposte si basano su risultati recenti nell'ambito delle equazioni alle derivate parziali non lineari di tipo iperbolico e parabolico e della loro approssimazione numerica. Per la parte metodologica, il progetto si concentra sulle equazioni di Hamilton-Jacobi nell'ambito della teoria delle soluzioni viscosità, sui sistemi iperbolici e sulle equazioni dispersive e paraboliche degeneri. E' interessante osservare che i contributi del progetto riguardano sia gli aspetti modellistica che quelli numerici e che questa , pur in presenza di risultati numerici significativi in varie applicazioni, manca ancora una teoria completa della convergenza per gli schemi di ordine alto che è appunto oggetto di questa ricerca. Questi temi sono tuttora al centro di una intensa attività in ambito internazionale come è testimoniato dal finanziamento di alcuni progetti ERC e di network europei su temi vicini. I ricercatori del progetto sono o sono stati coinvolti nelle ricerche internazionali all'interno di vari progetti e network, sia a livello europeo che internazionale.
Per quanto riguarda le applicazioni, i temi proposti sono molto innovativi e si collocano alla frontiera delle ricerche attuali soprattutto per quanto riguarda le applicazioni in ambito socio-economico (mean field games, modelli di traffico su reti, giochi differenziali con molti agenti), biomedico (crescita tumorale e strategie di controllo e cura) ed ai problemi di propagazione ondosa (scattering). Le applicazioni al trattamento delle immagini si basano su ricerche avanzate sia nell'ambito dei modelli differenziali non lineari e della loro approssimazione che in quello della algebra lineare numerica. Il gruppo di ricerca, con le sue varie competenze, dà garanzie di successo su molti di questi temi.
Si prevede di organizzare un Workshop/Scuola nel 2019 sulla ricostruzione 3D e sulle applicazioni alla stampa 3D, per la quale sono stati chiesti anche altri finanziamenti all'INDAM e al CNR.
Seminari
Proseguirà come ogni anno il ciclo di seminari "Modellistica Differenziale Numerica" attivo da più di dieci anni presso il Dipartimento di Matematica (info alla pagina WEB www.mat.uniroma1.it/ricerca/seminari/mdn).
BIBLIOGRAFIA DI RIFERIMENTO DEL PROGETTO
[A13] Achdou, Y. (2013), Numerical Analysis and Applications, pages 1¿47. Springer.
[ACC12]Y. Achdou, F. Camilli, and I.Capuzzo-Dolcetta.(2012). SIAM J. Control Optim., 50(1):77¿109.
[BDM] M. Burger, M. Di Francesco, P. A. Markowich, and M.-T Wolfram.(2014), Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B, 19(5):1311-1333.
[BL18] L. Banjai and M. Lopez-Fernandez, Preprint 2018.
[BLS17] L. Banjai, M. Lopez-Fernandez and A. Schädle, SIAM J. Numer. Math. 55 (2017), 621-639.
[BM17] S. Börm and J. M. Melenk, Numer Math. 137 (2017), 1-34. electronic.
[CLR02] D. Calvetti, B. Lewis, and L. Reichel, Numer. Math., 91 (2002), pp. 605--625.
[DNR17] L. Dykes, S. Noschese, and L. Reichel, Numer. Algorithms, 75 (2017), pp. 477--490.
[CCM15]F. Camilli, E. Carlini, and C. Marchi. (2015). Discrete Contin. Dyn. Syst., 35(9):4173¿4192.
[CFV08] G. Crasta, S. Finzi Vita, Networks and Heterogeneous Media 3 (2008), 815-830.
[CNM15]G. Chevalier, J. Le Ny and R. Malhamé.(2015) 2015 American Control Conference (ACC), Chicago, IL, pp. 1983-1988.
[CS12] F. Camilli, F.J. Silva.(2012). Network and Heterogeneous Media, 7 263-277.
[FFV06] M. Falcone, S. Finzi Vita, SIAM J. Scientific Computing 28 (2006), 1120-1132.
[GG96] R. A. Gatenby, E. T. Gawlinski, , Cancer Research 56 (1996) 5745-5753.
[GNR15] S. Gazzola, P. Novati, and M. R. Russo, Electron. Trans. Numer. Anal., 44 (2015), pp. 83--123.
[HK03] K.P. Hadeler, C. Kuttler, Granular matter, Internal report Univ. Tubingen n. 185 (2003).
[HMC06] M. Huang, R. Malhamé, P. Caines, Commun. Inf. Syst. 6 (2006), no. 3, 221-251
[LL06] J-M. Lasry, P-L. Lions.(2006). C. R. Math. Acad. Sci. Paris 343, 679-684.
[LS13] M. Lopez-Fernandez and S. Sauter, IMA J. Numer. Anal. 33 (2013), 1156-1175.
[LY90] R.J. LeVeque, H.C. Yee, J. Comput. Phys. 86 (1990) 187-210.
[MGGM10] N. K. Martin, E. A. Gaffney, R. A. Gatenby, P.K. Maini, J. Theor. Biol. 267 (2010) 461-470.
[MGMM14] J. B. McGillen, E.A. Gaffney, N.K. Martin, P.K. Maini, J. Math. Biol. 68 (2014) 1199-1224.
[NRS12] A. Neuman, L. Reichel, and H. Sadok, I, Linear Algebra Appl., 436 (2012), pp. 3974--3990.
[QV99] A. Quarteroni and A. Valli, Oxford University Press, New York, 1999
[S99] J. A. Sethian, Cambridge University Press (1999).
[SM94] F.-S. Sanchez-Garduno, P.K. Maini, J. Math. Biol. 33 (1994), 163-192.
[Sa16] F.-J. Sayas. Springer Series in Computational Mathematics, 50, 2016.
[SLL06] A. Schädle, M. Lopez-Fernandez and C. Lubich, SIAM J. Sci. Comput., 28 (2006), 421¿438.