Il progetto di ricerca ha come scopo l'analisi di modelli evolutivi a infiniti gradi di libertà che presentano una rilevanza in fisica o in altre scienze applicate, come la biologia e la medicina. In particolare si vuole studiare l'evoluzione di fluidi, di gas rarefatti, di interfacce e i meccanismi di trasporto di energia.
Tali evoluzioni, deterministiche o stocastiche, verranno trattate utilizzando strumenti provenienti da diversi ambiti della matematica, tra cui il calcolo delle variazioni, la teoria della probabilità e le evoluzioni geometriche.
L' approccio proposto vuole mettere in risalto la relazione fra gli aspetti modellistici e la loro trattazione matematica.
L'innovatività dei temi di ricerca presentati consiste essenzialmente nel cercare nuovi approcci, tecnici e concettuali, alla risoluzione di problemi classici rilevanti. Di seguito, in dettaglio, i principali aspetti innovativi e le prospettive di progresso.
A.1. L'approccio flusso gradiente a equazioni cinetiche è innovativo e solo recentemente è stato presentato nel caso di equazioni omogenee (E). Un progresso significativo sarebbe già lo studio del caso lineare e non omogeneo e risultati preliminari fanno sperare in un successo in questa direzione. Più ambizioso è il caso non lineare, a cui ci si vuole accostare prendendo in considerazione modelli semplificati.
A.2. Nel contesto di fluidi ideali (equazioni di Eulero), si è dimostrato recentemente che in casi particolari ma fisicamente rilevanti l'approssimazione a vortice rimane valida su tempi molto più lunghi di quelli usualmente previsti. Si vuole estendere l'analisi al caso di fluidi viscosi (equazioni di Navier-Stokes)
B.1. Per una catena armonica a contatto con bagni termici a diversa temperatura, ci si aspetta che nel limite di infiniti oscillatori il profilo di temperatura stazionario sia la soluzione di un'equazione ellittica frazionaria. La possibilità di dimostrare questa congettura dipende dalla scelta strategica delle osservabili fisicamente rilevanti, che sembrano essere le analoghe di non-equilibrio delle funzioni di Wigner.
B.2. La derivazione del moto per curvatura a partire da dinamiche
stocastiche microscopiche e' uno dei problemi più rilevanti della
meccanica statistica; finora gli unici risultati rigorosi sono stati
ottenuto in casi molto speciali. L'analisi delle proprietà di grandi
deviazioni (di cui il primo risultato e' in [BBP]) può essere di
aiuto nell'identificare i meccanismi cruciali per tale derivazione.
Un altro passo in questa direzione è lo studio del limite diffusivo del funzionale delle grandi deviazioni relativo al limite mesoscopico di tali dinamiche.
C.1. Per analizzare le serie temporali ed evidenziare le informazioni significative per diagnosi e terapie si prevede l'estrazione del trend e la stima di estremi attraverso il filtraggio del rumore con metodi di regressione non parametrica, quali decomposizioni multiscala wavelets. Le serie multivariate ottenute da misure simultanee consentono di evidenziare legami di causalità, interazione unidirezionale o bidirezionale, ritardo temporale. L'utilizzo di queste tecniche in un contesto di dati biomedici è innovativo.
C.2. Per analizzare la sensibilità dello spettro di matrici polinomiali strutturate
si prevede l'uso di polinomi di perturbazione con coefficienti matriciali di rango unitario (ed eventualmente aventi le medesime strutture) per ottenere due diversi risultati:
i) costruire approssimazioni degli pseudospettri polinomiali strutturati, nell'intento di analizzare le criticità nello spettro;
ii) costruire matrici polinomiali simili aventi migliore condizionamento spettrale.
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