Il progetto si propone di indagare le interazioni tra alcune classi eccezionali di oggetti geometrici e la teoria delle rappresentazioni.
La classificazione delle varietà rappresenta uno dei problemi principali nella geometria. Le varietà di Fano si collocano tra gli oggetti più studiati. Sebbene sia noto come il loro numero debba essere limitato in ogni dimensione fissata, la loro classificazione in dimensione superiore a tre è attualmente insoluta. Un modo di produrre larghe classi di esempi di varietà di Fano è considerarle come sottovarietà di varietà omogenee della forma G/P, per G un gruppo algebrico lineare e P un sottogruppo parabolico. A partire dalla combinatoria di tali varietà ambiente si produrranno nuovi esempi, lavorando al contempo a risultati di classificazione. Inoltre, tramite l'uso di strumenti di teoria delle rappresentazioni, ci dedicheremo allo studio sistematico della teoria di Hodge di tali varietà. Infine useremo queste informazioni come ponte per produrre esempi di varietà con struttura hyperkaehler e Calabi-Yau, importanti nella geometria algebrica, riemanniana e nella teoria delle stringhe.
Il progetto si focalizzerà principalmente sugli argomenti seguenti:
--la classificazione sistematica delle varietà di Fano in dimensione 4 ottenibili a partire da varietà razionali omogenee a partire da fibrati omogenei;
--Varietà sferiche e congettura di Stanley
--Varietà sferiche ed embeddings per gruppi non riduttivi
--lo studio di strutture di Poisson (e pre-Poisson) su varietà di Fano;
--la ricerca di varietà di Fano in dimensione alta con struttura di Hodge eccezionale (e.g. con proprietà simplettiche o di Calabi-Yau);
--la realizzazione di modelli geometrici di varietà di tipo hyperkaehler come spazi di moduli di fasci stabili su tali varietà, o ancora come spazi di moduli di oggetti stabili nelle componenti interessanti delle loro categorie derivate.
--complessi geometro-differenziali nel contesto di varietà conformemente simplettiche.
VARIETÀ DI FANO IN DIMENSIONE 4 E VARIETÀ OMOGENEE
La novità di questo progetto risiede sia nella profondità che nella sistematicità dell'approccio proposto. Ci si concentrerà infatti sulla ricerca sistematica di varietà di Fano in tutte le varietà razionali omogenee (non solamente dunque nella Grassmanniana), usando inoltre strumenti informatici di supporto per adeguati linguaggi di algebra computazionale (Macaulay2, sage, ecc.). Una preliminare ricerca usando fibrati di rango fino a 25 ha portato alla creazione di un database di circa 1000 famiglie di Fano 4-folds, ben più dell'attuale numero di esempi noti (che si possono trovare ad esempio in [B], [CKP], [KA]). La determinazione di un bound sul rango dei fibrati coinvolti, e la descrizione geometrica alla maniera di [DFT] getterà una nuova luce sullo stato dell'arte della comprensione della geografia delle Fano 4-fold, chiarificando anche i link e le corrispondenze birazionali tra le varietà in questione.
VARIETÀ SFERICHE ED EMBEDDINGS PER GRUPPI NON RIDUTTIVI
La nostra ricerca permetterebbe di affrontare in modo unificato lo studio di gruppi di automorfismi di varietà sferiche, un campo di ricerca attualmente attivo. Inoltre avrebbe ripercussioni sullo studio di varietà sferiche di dimensione infinita sotto l'azione di gruppi di Kac-Moody. In particolare, basandoci sui lavori di Alekseev-Malkin-Meinrenken e di Knop stesso sulle azioni quasi Hamiltoniane, si potrebbe applicare la teoria degli embeddings per gruppi non riduttivi per creare un legame fra queste varietà e le azioni Hamiltoniane di gruppi di lacci su varietà simplettiche di dimensione infinita.
VARIETÀ SFERICHE E CONGETTURA DI STANLEY
Abbiamo una nuova strategia per dimostrare almeno metà della congettura, andando a studiare i polinomi di Jack sghembi, che congetturiamo avere coefficienti interi.
Il nostro punto di vista sul problema ci porterà inoltre a una generalizzazione naturale della congettura di Stanley per tutti i sistemi di radici, e dunque a una comprensione completa del prodotto di funzioni sferiche di Harish-Chandra per tutti gli spazi simmetrici.
STRUTTURE DI POISSON SU VARIETÀ DI FANO
Gli stessi strumenti sviluppati nel punto (1) forniranno la linea guida per attaccare anche questa parte del progetto. La chiave risiede nella descrizione delle nuove Fano in maniera globale, come luoghi di zeri di fibrati omogenei. Questo linguaggio è particolarmente efficace per descrivere la struttura algebrica dello spazio delle strutture di Poisson e pre-Poisson, laddove l'originale linguaggio birazionale di Mori e Mukai non permetteva con facilità questi tipi di calcoli.
VARIETÀ DI FANO E STRUTTURE ECCEZIONALI SIMPLETTICHE O DI CALABI-YAU
La lista degli esempi di varietà di Fano di tipo K3 e Calabi-Yau rimane fino ad oggi limitata, in particolare nel caso K3. In letteratura erano noti fino a pochi anni fa non più di una decina di esempi, il cui numero è stato raddoppiato in [FM]. Nel caso Calabi-Yau la lista di [IMa], ottenuta usando fibrati lineari su varietà omogenee, verrà ampliata usando fibrati dal rango arbitrario. La ricerca sistematica operata nel punto (1) e le tecniche discusse nella metodologia ci permetteranno di aumentare ancora il numero di esempi disponibili. Per fare un esempio, all'interno del database di Fano 4-fold del punto (1) abbiamo già identificato 65 nuove famiglie di esempi di FK3, e ci aspettiamo che questo numero aumenti conseguentemente considerando i casi in dimensione più alta e completando l'analisi sulle varietà razionali omogenee.
COSTRUZIONE DI VARIETÀ HYPERKAHELER
A partire da ogni famiglia proiettiva di FK3 l'aspettativa è di riuscire a costruire nuove famiglie polarizzate di hyperkaehler, per quanto di classe di deformazione già nota (molto probabilmente, equivalente allo schema di Hilbert su una superficie K3). Anche restringendosi a tale sottoclasse, al momento solamente poche famiglie esplicite di esempi sono note, perlopiù in dimensione 4, e con gradi molto specifici. In [FM] e [IMb] esempi espliciti di tali hyperkaehler sono stati costruiti, a partire da speciali K3 nel modello di Mukai. Ci aspettiamo che - a partire da opportune Fano - sia possibile costruire esplicitamente esempi di tali hyperkaehler per almeno tutte le K3 in genere minore di 13, e diverso da 11.
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[B] Batyrev, J. Math. Sci (1999)
[CKP] Coates, Kasprzyk, Prince, Proc. A. 2015
[DFT] De Biase, Fatighenti, Tanturri, arXiv:2009.13382
[FM] Fatighenti, Mongardi, IMRN 2021
[IMa] Iliev, Manivel, J. Pure Appl. Algebra 2015
[IMb] Iliev, Manivel, Eur. J. Math 2019
[KA] Kalashnikov, Proc. A. 2019