Questo progetto di ricerca riguarda lo studio delle rappresentazioni dei quiver simmetrici (o con auto-dualità) e due sue applicazioni, che sono oggetto delle tesi di dottorato dei due componenti del gruppo, sotto la supervisione del responsabile.
Le tesi di dottorato dei due componenti Trevisiol e Wehrmacher, sotto la supervisione del responsabile, sono di natura diversa, ma hanno in comune l'utilizzo di quiver (con relazioni) dotati di una auto-dualità. I quiver con auto-dualità sono stati introdotti da Derksen e Weyman in un articolo del 2002 su Coll. Math. ma erano già studiati nella scuola di Kiev da molti anni.
L'idea di base è quella di cercare di utilizzare la ben nota teoria delle rappresentazioni dei quiver per risolvere problemi in cui invece dell'azione del gruppo generale lineare compaiano gli altri gruppi classici.
Le rappresentazioni di un quiver di fissata dimensione sono parametrizzate da uno spazio affine su cui agisce un prodotto di gruppi generali lineari per cambiamento di base. Nel caso il quiver abbia relazioni, dentro questo spazio affine si considera una varietà affine le cui equazioni sono date dalle relazioni. Nel caso di quiver con autodualità, invece di queste varietà si considerano le sottovarietà dei punti fissi per un'opportuna involuzione, e su tale sottovarietà agisce il gruppo dei punti fissati, che risulta essere un prodotto di gruppi classici.
Questo progetto ha l'ambizione di studiare la chiusura delle orbite dei punti fissati mediante l'azione del sottogruppo dei punti fissati dall'involuzione. Si noti che una volta capito questo, le due tesi di Trevisiol e Wehrmacher ne benificeranno grandemente. Chiediamo di finanziare il progetto, per poter comprare strumenti utili alla ricerca (quali computer, tablet ed accessori), per poter invitare a parlare esperti del campo e per poter partecipare a conferenze ed incontri scientifici nei quali divulgare il nostro lavoro ed attivare nuove collaborazioni.
Il progetto di ricerca è molto innovativo. Lo studio delle e-rappresentazioni di quiver simmetrici compare solo in pochissimi articoli scientifici e bisogna cominciare quasi da zero. Ci sono due teoremi importanti in letteratura: uno dovuto a Magyar-Weyman-Zelevinsky (J. Algebra, 2000) e l'altro dovuto a Derksen e Weyman (Coll. Math. 2002). Il primo teorema ci dice che due e-rappresentazioni sono isomorfe come e-rappresentazioni se e solo se sono isomorfe come rappresentazioni del quiver. Il secondo teorema ci dice che ogni e-rappresentazione è somma diretta di e-rappresentazioni indecomponibili, e che le e-rappresentazioni indecomponibili o sono indecomponibili come rappresentazioni del quiver oppure sono la somma diretta di un indecomponibile e del suo duale.
Utilizzeremo questi due teoremi per cercare di ottenere gli obiettivi 3) e 4).
Gli obiettivi 1) e 2) richiederanno lo sviluppo di nuove tecniche. L'obiettivo 1) giova di una notevole letteratura, mentre il 2) non potrà contare su molti lavori.