Onde anomale (OA) in natura sono generate dalla instabilita' non lineare della modulazione dell'ampiezza di onde quasi-monocromatiche, e questo meccanismo si presenta in diversi contesti fisici, come la fluidodinamica, l'ottica non lineare e i condensati di Bose-Einstein. Il piu' semplice modello matematico usato per lo studio delle OA e' l'equazione di Schroedinger non lineare di tipo "focusing" in 1+1 dimensioni. Il problema di Cauchy periodico per tale equazione, per piccole perturbazioni iniziali della soluzione di background instabile, e' stato risolto di recente dal proponente in collaborazione con P.G. Grinevich, attraverso una variante innovativa del metodo "Finite Gap" (generalizzazione non lineare del metodo della serie di Fourier), e ha permesso di descrivere in modo analitico e deterministico l'apparizione, ricorrenza, ed interazione non lineare delle OA, quando i corrispondenti modi non lineari sono in numero finito. Grazie a tale soluzione, l'effetto di una piccola dissipazione o guadagno lineare sulla dinamica delle OA, nel caso di un modo instabile, e' stato descritto analiticamente dal proponente, in collaborazione con P. G. Grinevich e F. Coppini, all'interno dell'attivita' di ricerca relativa al precedente progetto di Ateneo 2019. Si intende ora studiare i due seguenti problemi aperti e di grande rilevanza teorica ed applicativa.
A. Studio degli effetti perturbativi di guadagni e perdite non lineari, nel caso di un numero finito di modi instabili, e studio delle condizioni in cui tali effetti si bilanciano, stabilizzando opportuni fenomeni fisici di interesse, come la ricorrenza di OA del tipo Fermi-Pasta-Ulam.
B. Studio delle OA in altri contesti fisicamente rilevanti, come: i) in teorie di campo sul reticolo, e ii) in teorie di campo relativistiche.
Quando il proponente ed il Prof. Grinevich hanno iniziato a lavorare sulla teoria delle onde anomale (OA) periodiche in natura, uno dei campi di ricerca piu' caldi al momento, erano consapevoli dell'enorme mole di risultati teorici, numerici e sperimentali ottenuti nell'ultimo ventennio in questo ambito. L'uso innovativo di tecniche matematiche di natura algebro - geometrica, le piu' adatte a trattare il problema in questione essendo le generalizzazioni naturali dei metodi classici delle serie di Fourier ad un contesto non lineare, ha permesso di costruire una teoria analitica delle OA periodiche, raccolta nei risultati [1-7] del proponente, nuova ed elegante, ed in pieno accordo con i risultati numerici e sperimentali noti. Il conseguente avanzamento delle conoscenze in questo ambito e' gia' riconosciuto da molti dei piu' grossi gruppi di ricerca teorici e sperimentali internazionali che lavorano su queste tematiche. E' ragionevole aspettarsi che l'uso delle stesse potenti tecniche matematiche sviluppate finora per l'equazione di Schroedinger non lineare (NLS) possa garantire un analogo sviluppo di conoscenze nelle due ricerche proposte.
L'attuale stato dell'arte, relativo allo studio di effetti diffusivi e di guadagno/perdita non lineari sulla dinamica delle OA periodiche dell'equazione NLS, e' legato alla derivazione fisica di tali effetti, al loro studio in esperimenti di idrodinamica e di ottica non lineare, e all'uso sistematico di simulazioni numeriche. Il contributo che intendiamo dare alla ricerca e' quello di un sostanziale avanzamento delle conoscenze teoriche, per arrivare ad una trattazione analitica di tali effetti in termini di funzioni elementari. In particolare si intende trovare le formule analitiche elementari che descrivono il bilanciamento tra gli effetti di perdita e guadagno, per una stabilizzazione del particolare fenomeno fisico di interesse, come la ricorrenza di OA del tipo Fermi-Pasta-Ulam. La ricerca di tali effetti di bilanciamento e' stata fatta finora solo a livello numerico e sperimentale, e attraverso tentativi.
L'attuale stato dell'arte, relativo alla dinamica di OA periodiche in teorie di campo su reticolo o relativistiche, annovera solo alcuni esempi di soluzioni esatte che descrivono perturbazioni finite del background instabile, ottenute attraverso metodi algebrici diretti, senza nessuna conoscenza del loro ruolo in un problema di Cauchy generico, e quindi della loro potenziale rilevanza in natura. L'uso delle tecniche innovative usate per l'equazione NLS permettera' di costruire una teoria analitica completa delle OA periodiche in questi due contesti, con potenziali sviluppi interessanti anche a livello di teoria dei campi quantistici.