Il progetto di ricerca ha come tematica principale alcune equazioni differenziali alle derivate parziali con termini singolari e le loro applicazioni.
L'obiettivo del progetto è duplice:
(A) Studiare la minimizzazione di funzionali di energia con potenziale singolare introdotti nella modellizzazione del fenomeno di contatto tra una goccia di liquido e una superficie solida nel regime di lubrificazione. E, di conseguenza, studiare le equazioni di Eulero-Lagrange associate al funzionale, ovvero equazioni ellittiche singolari.
(B) Studiare esistenza, unicità e proprietà qualitative di soluzioni di equazioni ellittiche con termini possibilmente singolari in domini limitati con condizioni al contorno di Dirichlet omogenee.
Ancora dividiamo a seconda dei due obiettivi della ricerca.
(A) L'innovazione della ricerca è lo studio della minimizzazione di funzionali come E con potenziali con doppia singolarità non convessi a massa fissata. Come detto sopra, non si hanno risultati di esistenza e unicità a noi noti in letteratura per Q così generici. Questo permetterebbe, a prescindere dal modello descritto, di dimostrare esistenza di una soluzione per l'equazione di E-L associata che è risolta nell'insieme in cui u>0. Quindi, di consenguenza, avere esistenza di soluzioni per una particolare classe di equazioni ellittiche con termini singolari. Notiamo che sarebbe anche un completamento in più dimensioni ed in tutto lo spazio dei risultati provati in [BetAll] (vd. sopra). L'idea inoltre è quella di sfruttare il meno possibile le proprietà dello spazio H^1 nelle tecniche dimostrative, in modo da poter sperare di estendere la possibile esistenza del minimo (e in lunga prospettiva unicità) per funzionali con primo termine sqrt(1+grad(u)^2), ovvero passare dal minimizzare in H^1 a minimizzare nello spazio delle funzioni BV. Questo corrisponderebbe ad ampliare i risultati trovati in [Amy1] e [Amy2] per Q convesse.
(B) Lo studio dell'esistenza di soluzioni deboli per il problema ellittico singolare
-Lap u=f(x)u^{-m}-g(x)u^{-n}+h(x)u^q in un insieme limitato
con condizione u=0 alla frontiera
in presenza di tutti e tre i termini del lato di destra e con f,g ed h poco regolari (solo in spazi di Lebesgue) non è a noi noto in letteratura. Ci sono risultati di esistenza parziali in cui uno o due termini sono presenti e in cui le funzioni sono regolari. Abbiamo già ottenuto un risultato di esistenza di soluzioni non negative nell'insieme prescritto con g=0 e con f,h in opportuni spazi di Lebesgue. Abbiamo dimostrato questo primo risultato (che sarebbe la prima parte del nostro obiettivo) senza sfruttare il principio del massimo (che sappiamo non potremo sfruttare con g>0). A posteriori però si recupera che la soluzione è positiva. Dalla letteratura nota ([D1], [D2] sopra) sappiamo che con la presenza del termine g potremmo non avere esistenza di soluzioni positive in tutto l'insieme. Quindi il non usare il principio del massimo nelle tecniche dimostrative è molto importante per il futuro sviluppo. Per quanto riguarda l'unicità la vera innovazione sarebbe provare un risultato indipendendente dalla forma di F(x,u). Ovvero cercare delle ipotesi ottimali da mettere su F (che ricordiamo può esplodere sia a 0 che a infinito) in modo da poter dire che se una soluzione debole esiste allora essa è unica. Questo generalizzerebbe il risultato contenuto in [BreOs] per problemi anche singolari.