Il gruppo di ricerca intende occuparsi dello studio del comportamento statico e dinamico di diversi sistemi complessi nel contesto del calcolo delle variazioni e della meccanica statistica. I sistemi complessi sono caratterizzati dalla presenza di una o piu' scale significative legate alla descrizione microscopica del fenomeno.
Lo studio di modelli matematici che descrivono sistemi complessi da anni suscita grande interesse nella comunita' scientifica internazionale in quanto coinvolge in maniera trasversale discipline anche molto diverse tra loro come per esempio la fisica, la biologia, la scienza dei materiali fino alle scienze sociali. Pur avendo origini molto diverse, essi possono essere accomunati dalla stessa natura multi-scala. Dal punto di vista matematico l' obiettivo e' quello di sviluppare metodi matematici la cui versatilita' ne consenta l'applicazione in diversi ambiti.
Il calcolo delle variazioni risulta essere uno strumento particolarmente efficace nella descrizione di sistemi in equilibrio e dei relativi stati di energia minima e nella derivazione del modello macroscopico mediante un'analisi multiscala. Allo stesso tempo esso trova applicazioni nello studio di varie dinamiche, storicamente non considerate di natura variazionale, che possono essere egualmente scritte come flussi gradiente e studiate secondo lo schema dei movimenti minimizzanti. L' estrema flessibilità dei metodi variazionali ha consentito recentemente di allargarne l'ambito di impiego all'analisi delle fluttuazioni statistiche nella meccanica del non equilibrio.
I fenomeni che si intendono studiare sono descritti da modelli macroscopici e riguardano le dislocazione nei cristalli, transizioni di fase, difetti ottici nei cristalli liquidi, flussi geometrici cristallini, conduttivita' AC in solidi fortemente disordinati e modelli di formazione di opinione.
Nel periodo coperto dal progetto si prevede di organizzare una scuola/workshop e di bandire un assegno di ricerca.
Il gruppo di ricerca si propone di affrontare tematiche che si inseriscono in un contesto di ricerca internazionale contribuendo in modo significativo allo sviluppo matematico di teorie macroscopiche senza trascurare l'aspetto modellistico ed applicativo.
ANSINI. MODELLI DIFFUSIVI NONLINEARI.
Il sempre piu' crescente interesse per lo studio delle equazioni di tipo Fokker Planck e' dovuto al suo estremo potenziale di applicazione interdisciplinare che va dallo studio delle fluttuazioni di sistemi fisici e biologici ai processi di formazione di opinione tra gli individui [To]. L'equazione di Fokker-Planck con coefficiente di mobilita' degenere si applica in particolare allo studio dei processi di formazione di opinione.
Dal punto di vista matematico la mobilita' degenere o non limitata non consente di applicare la teoria classica dei flussi gradiente in spazi metrici (Ambrosio-Gigli-Savare'). Diventa quindi fondamentale sviluppare una teoria matematica per flussi gradiente rispetto a metriche con peso.
FAGGIONATO. CONDUTTIVITA' AC IN SOLIDI FORTEMENTE DISORDINATI. La conduzione elettrica in solidi fortemente disordinati nel regime di localizzazione di Anderson avviene attraverso il cosiddetto "variable range hopping" indotto da fotoni. Sotto l¿azione di un campo elettrico uniforme, la risultante conduttivita' DC decade a zero nel limite di basse temperature secondo la legge di Mott. Stime sulla conduttivita' DC conformi alla legge di Mott sono state provate rigorosamente in [CF], [FSS], [FM]. Vari esperimenti mostrano che, almeno per un' ampia classe di solidi fortemente disordinati, il comportamento della conduttivita' AC (quando il solido e' sottoposto ad un campo elettrico oscillante) presenta un andamento a basse temperature universale (indipendente dalle caratteristiche del solido), anche se la formulazione precisa della legge limite e' un argomento dibattuto [POF], [DS].
FRANZINA. TRANSIZIONI DI FASE E CURVATURA MEDIA NELLO SPAZIO IPERBOLICO.
Con l'introduzione di un termine forzante nell'equazione di Allen-Cahn, lo studio delle proprietà qualitative delle soluzioni intere nello spazio iperbolico si complica. Si cercano quindi dei risultati che colleghino in modo ottimale le proprietà del termine forzante alle naturali condizioni di ammissibilità per le curvature medie prescritte nel problema di Plateau all'infinito per le superfici complete approssimate dal modello di transizione di fase nello spazio iperbolico di Allen-Cahn, al fine di ottenere nuovi risultati di esistenza e regolarità fino al bordo delle soluzioni sia per la EDP che per il problema geometrico.
GARRONI. ANALISI MULTI-SCALA DELLE DISLOCAZIONI NEI CRISTALLI: STATICA E DINAMICA.
Rispetto ai modelli classici trattati nella letteratura meccanica si introduce un nuovo punto di vista. In particolare in ambito statico e tridimensionale, i modelli ottenuti con l'analisi multi-scala sono capaci di esibire microstruttura e potrebbero contribuire a spiegare fenomeni complessi quali le cosiddette 'cell structure'. Per cio' che riguarda la dinamica, recentemente sono stati proposti vari modelli per la dinamica di densita' di dislocazioni dedotti con ipotesi statiche non sempre rigorose [GB]. I metodi che si propongono in questa ricerca potrebbero convalidare alcuni di questi modelli, ma anche trovare regimi in cui questi non si applicano. La rilevanza di tali risultati e' nella capacita' di usare modelli predittivi per un fenomeno molto complesso come quello della plasticita' che coinvolge diverse scale.
PISANTE/DI PASQUALE. MODELLO DI LANDAU-DE GENNES PER I CRISTALLI LIQUIDI.
Rispetto al modello di Ginzburg-Landau per la superconduttività e quello di Frank-Oseen per i cristalli liquidi con le relative singolarità' topologiche di tipo vortice, il modello in esame presenta strutture più' complesse che richiedono tecniche più' complicate, in parte ancora da individuare. Anche restringendosi a configurazioni a simmetria assiale occorre riesaminare tanto la teoria di regolarità' quanto l'analisi qualitativa delle singolarità'.
PONSIGLIONE. FLUSSI GEOMETRICI CRISTALLINI.
La buona positura del problema del moto per curvatura media cristallina e' stata dimostrata solo negli ultimi due anni, tramite metodi e tecniche molto diverse tra di loro. E' quindi interessante approfondire il nesso che c'è tra le varie nozioni deboli di soluzione proposte, per avere un punto di vista unificato su tale problema.
[CF] P. Caputo, A. Faggionato. Ann. Appl. Probab.19, (2009), 1459-1494
[DS] J.C. Dyre, T.B. Schroder. Rev. Mod. Phys. 72, (2000), 873-892
[FSS] A. Faggionato, H. Schulz-Baldes, D. Spehner. Comm. Math. Phys. 263, (2006) 21-64.
[FM] A. Faggionato, P. Mathieu. Comm. Math. Phys. 281, (2008) 263-286
[GB] I. Groma, P.Balogh. Acta Mater 47(1999), 3647-3654
[POF] M. Pollak, M. Ortuno, A. Frydman. The electron glass. Cambridge University Press (2013).
[To] G. Toscani. Comm. Math. Sci. 4 (2006), 481-496.