Un ruolo spesso decisivo nello studio di strutture algebriche e geometriche è giocato dai metodi di tipo combinatorio, specie quando si opera in ambienti dotati di particolari simmetrie o altre proprietà di invarianza.
La cornice entro cui si sviluppa la presente proposta progettuale è rappresentata proprio dall'utilizzo di tali metodi per rispondere a questioni significative che compaiono naturalmente all'interno della Teoria delle Algebre soddisfacenti Identità Polinomiali, della Teoria dei Gruppi e della Geometria Riemanniana. Più nei dettagli, le tematiche che si intendono affrontare riguardano:
a) la classificazione di varietà di algebre PI con un'addizionale struttura graduata, eventualmente compatibile con un'involuzione, in base all'andamento asintotico delle rispettive codimensioni (utilizzando anche i metodi propri della Teoria delle Rappresentazioni dei Gruppi);
b) l'indagine della struttura del gruppo base di un'algebra gruppale cui sono imposte condizioni o sull'intero gruppo delle unità o su determinati sottoinsiemi notevoli, opportunamente individuati dall'azione di particolari mappe involutive operanti sull'algebra (rivolgendosi anche ad aspetti prettamente computazionali nel caso modulare);
c) lo studio delle forme differenziali canonicamente associate alle strutture di Clifford, della coomologia primitiva e degli spazi dei twistors delle varietà riemanniane simmetriche dotate di struttura di Clifford pari.
Rispetto ai punti menzionati tra gli obiettivi, si tratteggiano gli aspetti di innovatività e potenzialità presenti nelle linee di ricerca della proposta progettuale.
a) Uno dei problemi più interessanti nella Teoria combinatoria delle algebre PI è quello di trovare invarianti (ricordiamo che un invariante è un numero che è identico per algebre soddisfacenti le stesse identità polinomiali) che permettano di classificare le varietà. Tra di essi uno dei più significativi è fornito dall'esponente di una data algebra: infatti esso permette di distribuire le varietà su strati sovrapposti. In particolare, se S è un fissato insieme di polinomi e la varietà da esso generata, V(S), ha esponente d, potrebbe accadere che aggiungendo polinomi a S la varietà diventa più piccola ed il suo esponente minore di d. In tal caso si dice che V(S) è minimale. Da questo si capisce come, in qualche senso, le varietà minimali sono gli estremi di ciascun strato, e quindi di fondamentale importanza nella teoria asintotica delle codimensioni. Classificate in [3] nel caso ordinario ed in [5] nel caso di gradazioni indotte da gruppi di ordine primo (e quindi in quello significativo delle superalgebre), il problema si pone naturalmente nell'ambito delle *-superalgebre finito-dimensionali. Oltre ad un interesse indipendente, la motivazione profonda per l'indagine di queste strutture e dei loro relativi oggetti sta nelle informazioni di carattere generale che esse possono fornire (per esempio, basandosi sul lavoro di Karasik ["Kemer's Theory for H-module algebras with application to the PI exponent" J. Algebra 457 (2016)], Giambruno, Milies e Valenti hanno dedotto in ["Star-polynomial identities: Computing the exponential growth of the codimensions" J. Algebra 469 (2017)] l'esistenza dello *-esponente per arbitrarie algebre con involuzione *-PI). Il grado di difficoltà considerevolmente più elevato, dovuto dalla presenza di due addizionali azioni non mutualmente indipendenti, conduce all'introduzione di tecniche differenti, che tra l'altro paiono avere la possibilità di essere applicate al contesto delle superalgebre con superinvoluzione, come suggerito nei recentissimi articoli di Giambruno, Ioppolo e La Mattina ["Polynomial codimension growth of algebras with involutions and superinvolutions" J. Algebra 472 (2017)] e ["Superalgebras with involution and superinvolution and almost polynomial growth of the codimensions" Algebr. Represent. Theory, in stampa].
b) La presente proposta progettuale si inserisce lungo una direzione che negli ultimi decenni ha visto uno sviluppo sostanziale sia in termini di attenzione che di risultati ottenuti: lo studio delle unità di un'algebra gruppale FG. Nei dettagli, si vuol procedere nell'indagine del comportamento di G, e quindi di tutta l'algebra FG, nel caso in cui il gruppo delle sue unità unitarie rispetto all'involuzione classica, Un(FG), soddisfa identità gruppali. La difficoltà dell'analisi, testimoniata da una letteratura ancora alquanto lacunosa nonostante l'impegno profuso, induce a ritenere che anche rislutati parziali possano considerarsi un avanzamento significativo dello stato dell'arte. L'idea di fondo sta nell'esplorare la possibilità di legare le identità gruppali di Un(FG) alle corrispondenti identità polinomiali di FG, al fine di spostare il piano di lavoro nella struttura associativa o di Lie dell'algebra o dei suo elementi anti-simmetrici, che è meglio capita. Tale approccio potrebbe essere significativo nel caso più generale in cui FG sia dotata dell'estensione lineare di un'arbitraria involuzione di G, e quindi G non è necessariamente immerso in Un(FG).
c) La Geometria Riemanniana legata ai gruppi di Lie eccezionali e relativi spazi simmetrici è tema di ricerche attuale con tecniche di varia natura. La determinazione di un confronto tra le forme differenziali responsabili della geometria e topologia degli spazi simmetrici eccezionali di tipo compatto si colloca in questa direzione e promette di essere un innovativo avanzamento nel campo indicato. In particolare, tra gli aspetti più rilevanti si pone l'applicazione in ambito riemanniano di quanto sviluppato da Dadok e Harvey in [24] riguardo a calibrazioni definite in spazi lineari, e lo studio degli spazi di twistors di varietà con struttura di Clifford pari, seguendo un'idea utilizzata per F_4/Spin(9) in [25].