Il progetto di ricerca riguarda aspetti algebrici, geometrici e combinatori in alcune aree molto attive della ricerca matematica. Il progetto è articolato in diverse componenti:
1. Aspetti combinatori di funzioni speciali e polinomi ortogonali e interazioni tra combinatoria e rappresentazioni di algebre di Lie;
2. Grafi e colorazione degli spigoli con particolare riguardo ai grafi critici;
3. Grafi e ipergrafi estremali ottenuti mediante varietà algebriche o più in generale strutture di incidenza su campi finiti; Insiemi lineari su sottocampi in spazi proiettivi su campi di Galois;
4. Degenerazioni lineari di varietà di bandiera, Grassmanniane quiver, rappresentazioni di algebre finito-dimensionali introdotte da Geiss-Leclerc-Schröer.
L¿utilizzo di una base costituita da polinomi ortogonali per studiare le equazioni algebriche con span piccolo e, di conseguenza, interi algebrici, è del tutto innovativa. Ci aspettiamo che il nuovo punto di vista possa aiutare a risolvere problemi rimasti aperti da lungo tempo come un decisivo passo avanti nella classificazione dei polinomi iperbolici con span minore di 4 avviato da Robinson a Berkeley nel 1964. Alcuni promettenti risultati preliminari sono stati compiuti in un lavoro inviato di recente per la pubblicazione. Inoltre, L¿approccio algebrico al problema dei polinomi iperbolici non sembra avere precedenti nella letteratura e per la sua versatilità potrebbe portare alla scoperta di nuovi polinomi in modo più elementare, simbolico, probabilmente fornendo scorciatoie che velocizzino il calcolo normalmente lungo per gradi elevati.
Lo studio di alcune successioni numeriche, interpretate come momenti di polinomi ortogonali, sembra aprire la strada a nuove interpretazioni combinatorie di alcune funzioni speciali (polinomi di Laguerre) e prefigura anche possibili legami con polinomi cromatici di alcune importanti classi di grafi (Grafi di Turàn). Abbiamo ottenuto dei risultati parziali che pensiamo di poter completare a breve e sviluppare ulteriormente.
La tecnica di identificazione di vertici è stata accolta con interesse da parte di esperti in teoria dei grafi ed ha suscitato interesse anche in ambienti vicini alla topologia, grazie all¿analogia geometrica del modello. Le nuove costruzioni consentono di guardare ai grafi critici in un modo decisamente originale, gettando luce su aspetti finora poco evidenziati.
Gli ipergrafi di Ryser sono stati studiati con un approccio di tipo puramente combinatorio. In un primo lavoro con A.Bishnoi, abbiamo trovato nuove costruzioni combinando al primo approccio le nostre conoscenze sui campi finiti. Crediamo che questa tecnica possa dare altri risultati in tal senso.
Lo studio degli insiemi lineari come sottovarietà della Grassmanniana è stato affrontato solo da V. Pepe e da L.Giuzzi, crediamo che questo nuovo punto di vista non abbia ancora espresso tutto il suo potenziale.
La parte di progetto assegnata a Cerulli Irelli è un progetto di grande ambizione ma con buone probabilità di successo. L'esperienza maturata in questi ultimi anni è un ottimo punto di partenza.