Lo studio del moto dei sistemi fisici ha portato l'interesse dei matematici verso lo studio delle equazioni alle derivate parziali evolutive. Lo studio teorico di esse, rappresenta una sfida matematica con risvolti di grande impatto per la tecnologia. L'aggiunta di termini stocastici nell'equazioni permette di tener conto di fenomeni perturbativi random, i quali posso essere interpretati come una mancanza di conoscenza di alcune parti del sistema o delle sollecitazioni agenti su di esso. Lo studio della buona positura, del controllo e della stabilità per tempi grandi delle equazioni d'evoluzioni deterministiche e stocastiche risulta un campo di ricerca molto attivo.
Recentemente, nello studio delle equazioni d'evoluzione paraboliche, le tecniche di massima regolarità e più in generale dell'analisi armonica infinito dimensionale, hanno permesso avanzamenti teorici molto interessanti che sono tutt'ora in fase di sviluppo. Il loro uso, permette di dimostrare l'esistenza locale e stabilità di una classe molto generale di equazioni, ma molti punti sono ancora oscuri e meritano un'attenta analisi, oggetto della mia ricerca.
Sebbene l'uso della massima regolarità nello studio delle equazioni paraboliche risulti largamente usato, l'applicazione ad equazioni integrali d'evoluzione risulta limitata in virtù delle maggiori difficoltà tecniche che si incontrano nella sua applicazione.
L'estensioni di tali tecniche, potranno permettere una migliore comprensione del comportamento di sistemi dinamici con memoria, i quali sono di grande interesse fisico. Nondimeno, questo porta ad alcuni interessanti problemi di carattere matematico, quali l'adattamento dell'H infinito calcolo allo studio di equazioni integrali, il quale ha motivato una notevole mole di lavoro per i matematici negli ultimi decenni.