Il presente programma di ricerca si colloca nell'ambito della teoria di Lie e si articola in quattro aree di interesse specifico:
- Varietà sferiche e spazi simmetrici,
- Varietà sferiche, varietà simplettiche e azioni Hamiltoniane,
- Quozienti di Hecke-Kiselman di monoidi di Richardson-Springer,
- Algebre di vertice di Poisson moltiplicative e equazioni Hamiltoniane alle differenze.
VARIETA' SFERICHE E SPAZI SIMMETRICI.
La teoria delle varietà sferiche, di cui siamo esperti, offre punti di vista e strumenti nuovi per interpretare e affrontare
i problemi ben noti e di notevole interesse in vari campi che abbiamo brevemente illustrato. E' quindi chiaro che questo costituisce un aspetto di innovatività del progetto e un punto
di forza che ci mette in condizione di ottenere significativi avanzamenti nello studio e nella risoluzione di problemi concreti anche di base, che possono quindi avere ricadute
di ampia portata. Abbiamo già iniziato a collaborare su questi problemi, abbiamo già ottenuto alcuni risultati parziali, con lavori in fase di stesura.
VARIETA' SFERICHE, VARIETA' SIMPLETTICHE E AZIONI HAMILTONIANE.
Per il teorema di Knop sopra citato [Kn11], il problema di determinare se esista una struttura di Kähler compatibile
su una varietà Hamiltoniana X si può teoricamente riformulare in termini del politopo momento (e dell'isotropia generica) di X. Ci riproponiamo di applicare in questo ambito i risultati recenti di Pezzini, Cupit-Foutou e Van Steirteghem sulle varietà sferiche proiettive: infatti se esiste una tale struttura di Kähler, allora è noto che X è una varietà sferica proiettiva (a meno di perturbare la struttura simplettica di X).
QUOZIENTI DI HECKE-KISELMAN DI MONOIDI DI RICHARDSON-SPRINGER.
Le strutture SDS e le loro generalizzazioni hanno trovato sorprendenti applicazioni in contesti anche lontani, come ad esempio nei lavori [D17, D18]. La loro connessione con i monoidi di Hecke-Kiselman è nuova e inattesa, ed è ancora da chiarire la possibile relazione con le azioni dei gruppi di riflessione. Per quanto riguarda la fattibilità del progetto, abbiamo già una definizione congetturale di concatenazione generalizzata, che è stata verificata positivamente su tutti i grafi orientati con al più 7 vertici: questo è l'ingrediente principale per dimostrare che i monoidi di Hecke-Kiselman descrivono fedelmente la dinamica di un particolare SDS, detto universale, sul grafo corrispondente.
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