Il presente progetto di ricerca riguarda varie questioni matematiche sulla modellizzazione e l'analisi dei sistemi in equilibrio, degli stati di energia minima e della dinamica verso tali stati.
La ricerca e' focalizzata su modelli variazionali per singolarita' topologiche e transizioni di fase, e sui flussi gradiente delle energie rilevanti nei sistemi fisici presi in esame.
In molti contesti della scienza dei materiali le proprieta' fisiche macroscopiche sono influenzate da difetti del materiale, o da singolarita' dei campi e delle quantita' fisiche rilevanti. E' questo il caso delle dislocazioni nei cristalli, che sono difetti di linea nella struttura periodica cristallina e costituiscono il meccanismo microscopico della plasticita' nei metalli, e dei vortici nei superconduttori, che sono singolarita' nella densita' di elettroni in stato superconduttore.
Per una migliore comprensione di tali fenomeni e' necessario sviluppare un'analisi multiscala specifica, ed il calcolo delle variazioni risulta essere uno strumento particolarmente adatto a questo scopo, descrivendo in modo efficace fenomeni di rilassamento e omogeneizzazione, e la formazione di microstrutture. Inoltre, negli ultimi anni l'ambito dei metodi variazionali e' stato esteso con profitto alle evoluzioni temporali dei sistemi fisici tramite metodi di discesa di gradiente e dei movimenti minimizzanti. Intendiamo sviluppare queste tecniche, in particolare negli ambiti sopra descritti, quali lo studio delle dislocazioni nei metalli, evoluzioni di interfacce e moti geometrici. Nel periodo coperto dal progetto si prevede di organizzare una scuola orientata a dottorandi e giovani ricercatori. Inoltre, prevediamo di invitare vari studiosi stranieri ed italiani per collaborazioni scientifiche e seminari. I componenti dell'unita' prevedono di partecipare a vari convegni internazionali in cui verrano presentati i progressi ottenuti. E' infine previsto di bandire un assegno di ricerca sui temi del progetto.
Le attivita' del gruppo di ricerca si propongono di sviluppare teorie matematiche che riguardano le tematiche sopra descritte. Tale ricerca si inserisce in un contesto internazionale, nello sforzo comune di sviluppare modelli macroscopici rigorosi senza trascurare l'aspetto modellistico ed applicativo delle teorie in esame.
Descriviamo di seguito alcuni aspetti di maggiore innovativita' e impatto modellistico del presente progetto.
Nello studio di vortici in superconduttori, recentemente sono state dedotte energia di linea per i filamenti di vorticita'. Il caso delle dislocazioni che si intende studiare presenta molta piu' complessita'. In un certo senso, esso rappresenta l'estensione vettoriale del caso precedente. Infatti, il ruolo giocato dalla fase del parametro d'ordine nei vortici, nel caso delle dislocazioni e' giocato dalla funzione di spostamento, che assume valori sul toro tridimensionale piatto. Come conseguenza, le corrispondenti singolarita' topologiche, ossia le dislocazioni, sono correnti con densita' non scalare, ma a valori in un gruppo discreto. Lo studio e la deduzione rigorosa della loro energia, e del corrispondente flusso gradiente, risultano problemi matematicamente interessanti, che necessitano lo sviluppo di tecniche nuove e specifiche.
Rispetto al modello di Ginzburg-Landau per la superconduttività e a quello di Frank-Oseen per i cristalli liquidi con le relative singolarità' topologiche di tipo vortice, il modello in esame presenta strutture più complesse che richiedono tecniche più' complicate, in parte ancora da individuare. Anche restringendosi a configurazioni a simmetria assiale occorre riesaminare tanto la teoria di regolarità quanto l'analisi qualitativa delle singolarità. Il ruolo delle strutture topologiche complesse sembra essere molto piu' sottile rispetto ai modelli precedentemente noti in quanto diverse strutture topologiche sembrano rappresentare correzioni di ordine inferiore nell'andamento dell'energia.
Per quanto riguarda lo studio dei flussi geometrici, gli aspetti di maggiore innovativita' risiedono nell'estensione dei risultati di esistenza, unicita' e approssimazione di flussi geometrici al caso di codimensione alta, e di energie anisotrope e non-locali. E' ben noto che in codimensione alta molti degli strumenti analitici alla base dei risultati classici, come principi del massimo e di confronto, non sussistono, ed appare necessario individuare strumenti nuovi e specifici. In particolare, l'estensione del metodo dei movimenti minimizzanti [ATW93] al caso di codimensione alta costituirebbe un estensione notevole della teoria nota al caso di evoluzione geometrica di oggetti sottili, quali sono le linee di dislocazione in tre dimensioni.
Rispetto al flusso per curvatura media sub-Riemaniano, il flusso inverso presenta notevoli complicazioni, dovute alla combinazione tra la degenerazione dello spazio e la degenerazione dell'equazione. Per ovviare a questa difficolta' si cerca di migliorare stime di gradiente note nel caso Riemanniano per renderle uniformi nel passaggio al caso sub-Riemanniano.
Il sempre piu' crescente interesse per lo studio delle equazioni di tipo Fokker Planck e' dovuto al suo estremo potenziale di applicazione interdisciplinare che va dallo studio delle fluttuazioni di sistemi fisici e biologici ai processi di formazione di opinione tra gli individui. L'equazione di Fokker-Planck con coefficiente di mobilita' degenere si applica in particolare allo studio dei processi di formazione di opinione.
Dal punto di vista matematico la mobilita' degenere non consente di applicare la teoria classica dei flussi gradiente in spazi metrici (Ambrosio-Gigli-Savare'). Diventa quindi fondamentale sviluppare una teoria matematica per flussi gradiente rispetto a metriche con peso degenere.
Le tematiche illustrate nel progetto richiedono uno sviluppo profondo delle tecniche note in letteratura matematica, per trattare la complessita' dei modelli che intendiamo analizzare; in particolare lo studio delle proprieta' geometriche degli insiemi in codimensione alta e delle soluzioni vettoriali dei problemi variazionali, temi questi che rientrano in una classe di problemi di ampio respiro e di interesse per una vasta comunita' matematica.