Classicamente la Combinatoria ha fruttuosamente interagito con diverse aree della Matematica, fornendo spesso gli strumenti necessari alla soluzione di problemi di vario genere. In particolare, oggetti e metodi di tipo combinatorio sono stati determinanti nella formalizzazione e nello studio di strutture algebriche e geometriche, specialmente di quelle che presentano un alto grado di simmetria o altre proprietà di invarianza.
La cornice entro cui si sviluppa la presente proposta progettuale è rappresentata proprio dall'utilizzo di tali metodi per rispondere a questioni significative che compaiono naturalmente nell'ambito della Teoria delle Algebre soddisfacenti Identità Polinomiali, della Teoria dei Gruppi e della Geometria Riemanniana. Più nei dettagli, le tematiche che si intendono affrontare riguardano:
a) la classificazione di varietà di algebre PI con un'addizionale struttura graduata, eventualmente compatibile con un'involuzione, in base all'andamento asintotico delle rispettive codimensioni, e la descrizione degli ideali dell'algebra libera invarianti sotto l'azione di particolari classi di endomorfismi (utilizzando anche le tecniche proprie della Teoria delle Rappresentazioni dei Gruppi);
b) l'analisi di relazioni di identità di anelli gruppali, algebre inviluppanti ed altre strutture algebriche correlate, anche con riferimento alla loro possibile influenza sul corrispondente gruppo degli elementi invertibili;
c) lo studio di nuove calibrazioni, definite come forme differenziali canonicamente associate a strutture di Clifford pari, della coomologia primitiva e degli spazi dei twistors di varietà riemanniane simmetriche dotate di tali strutture.
a) Uno dei problemi più interessanti nella Teoria combinatoria delle Algebre PI è quello di trovare invarianti numerici che permettano di classificare le varietà. Lungo questa direzione, l'attenzione si è principalmente incentrata sullo studio delle codimensioni di una data algebra ed il loro limite asintotico, il PI-esponente. Il progetto di cui si relaziona si pone come obiettivo la classificazione delle varietà affini di PI *-superalgebre (ovvero generate da una PI *-superalgebra finitamente generata) che sono minimali di fissato *-superesponente. Ricordando che un'algebra con involuzione può essere vista come una *-superalgebra munita della gradazione banale, la soluzione del menzionato problema generalizzerebbe il risultato di Di Vincenzo, Spinelli ["A characterization of *-minimal algebras with involution", Israel J. Math. 186 (2011)] in cui si descrivevano le PI algebre con involuzione *-minimali nel caso finito-dimensionale. Tra l'altro, questo sarebbe fatto attraverso l'utilizzo di tecniche completamente differenti che paiono suscettibili di una estensione nel contesto delle superalgebre con superinvoluzione, di cui oggi si conosce l'esistenza del corrispondente PI-esponente ([Ioppolo: "The exponent for supealgebras with superinvolution" Linear Algebra Appl. 555 (2018)]). Vi è un altro aspetto che dovrebbe essere sottolineato: la strategia dimostrativa da adottare dovrebbe passare dal determinare se opportune sottoalgebre di matrici triangolari a blocchi possano essere individuate dalle loro identità *-graduate. Questo sarebbe un contributo significativo al cosiddetto Problema di Isomorfismo, ovvero stabilire se algebre in classi speciali sono isomorfe se, e solo se, soddisfano le stesse identità. Tale questione è stata recentemente discussa in una lunga serie di articoli (si veda, ad esempio, [Karasik: "G-graded central polynomials and G-graded Posner's Theorem" Trans. AMS in stampa] e [Bahturin, Yasumura: "Graded polynomial identities as identities of the universal algebra" Linear Algebra Appl. 562 (2019)]) specie nel caso (non-necessariamente associativo) di oggetti semplici. La difficoltà maggiore di ciò che si propone di fare sta proprio nell'interazione delle componenti semplici della parte semisemplice cogli elementi radicali. Un approccio di questo tipo è stato già tentato nel lavoro [Di Vincenzo, Spinelli: "Graded polynomial identities on upper block triangular matrix algebras" J. Algebra 415 (2014)] che è stato successivamente utilizzato da Ramos e Diniz in ["Graded identities and isomorphisms on algebras of upper block-triangular matrices" J. Algebra 523 (2019)] nell'interessante caso del prodotto tensoriale di speciali algebre PI graduate su campi algebricamente chiusi.
b) Lo studio delle unità di un'algebra gruppale FG ha visto negli ultimi decenni uno sviluppo sostanziale sia in termini di attenzione ricevuta che di risultati ottenuti. Scopo del progetto è quello di procedere nell'indagine del comportamento di G, e quindi della struttura di FG, quando il gruppo delle sue unità soddisfa una *-identità gruppale o quello delle sue unità unitarie, Un(FG), rispetto all'involuzione classica è GI. Il punto cruciale in entrambi gli ambiti è capire cosa accadde nel caso in cui FG sia semiprimo, a cui ci si riduce attraverso un processo standard. L'approccio che si vuol tentare per le unità unitarie potrebbe essere un contributo significativo verso la caratterizzazione, iniziata in [Broche, Dooms, Ruiz: "Unitary units satisfying a group identity" Comm. Algebra 37(2009)], di quando Un(FG) soddisfa un'identità gruppale. Infine, l'interesse per la struttura di Lie dell'algebra simmetrica di Poisson troncata è naturalmente generato dagli studi nell'ambito di speciali algebre di Hopf, ed è pesantemente motivata da [9] dove sono affrontate e risolte questioni analoghe. Quello che si cercherà di analizzare è l'adattabilità delle tecniche note agli aspetti computazionali, specialmente nelle basse caratteristiche, che tradizionalmente richiedono metodi più complessi.
c) La Geometria Riemanniana legata ai gruppi di Lie eccezionali e relativi spazi simmetrici è tema di ricerche attuale con tecniche di varia natura. La determinazione di un confronto tra le forme differenziali responsabili della geometria e topologia degli spazi simmetrici eccezionali di tipo compatto si colloca in questa direzione e promette di essere un innovativo avanzamento nel campo indicato. In particolare, tra gli aspetti più rilevanti si pone l'applicazione in ambito riemanniano di quanto sviluppato da Dadok e Harvey in [27] riguardo a calibrazioni definite in spazi lineari, e lo studio degli spazi di twistors di varietà con struttura di Clifford pari, seguendo idee utilizzate per F_4/Spin(9) e altri spazi in [Mare, Willems: "Topology of the octonionic flag manifold" Munster J. Math. 6 (2013)] e [Arizmendi, Hadfield: "Twistor spaces of Riemannian manifolds with even Clifford structure" Ann. Global Anal. Geom. 51 (2017)].