Il progetto di ricerca riguarda aspetti algebrici, geometrici e combinatori in alcune aree molto attive della ricerca matematica. Il progetto è articolato in diverse componenti:
1. Aspetti combinatori di funzioni speciali e polinomi ortogonali e interazioni tra combinatoria e rappresentazioni di algebre di Lie;
2. Grafi e colorazione degli spigoli con particolare riguardo ai grafi critici;
3. Grafi e ipergrafi estremali ottenuti mediante varietà algebriche o più in generale strutture di incidenza su campi finiti.
4. Degenerazioni lineari di varietà di bandiera, Grassmanniane quiver, B-orbite nilpotenti per gruppi di Lie classici.
L'utilizzo di una base costituita da polinomi ortogonali per studiare le equazioni algebriche con span piccolo e, di conseguenza, interi algebrici, è del tutto innovativa. Ci aspettiamo che il nuovo punto di vista possa aiutare a risolvere problemi rimasti aperti da lungo tempo come un decisivo passo avanti nella classificazione dei polinomi iperbolici con span minore di 4 avviato da Robinson a Berkeley nel 1964. Alcuni promettenti risultati preliminari sono stati compiuti in un lavoro inviato di recente per la pubblicazione. Inoltre, L¿approccio algebrico al problema dei polinomi iperbolici non sembra avere precedenti nella letteratura e per la sua versatilità potrebbe portare alla scoperta di nuovi polinomi in modo più elementare, simbolico, probabilmente fornendo scorciatoie che velocizzino il calcolo normalmente lungo per gradi elevati.
La dimostrazione motivata, in senso tecnico, di identità combinatorie ha fatto recentemente buoni passi avanti per merito, soprattutto di J. Lepowsky e suoi collaboratori. Pensiamo di poter applicare queste tecniche in altri casi importanti.
La tecnica di identificazione di vertici continua ad essere accolta con interesse da parte di esperti in teoria dei grafi. Le nuove costruzioni consentono di costruire grafi critici in un modo innovativo ed originale, gettando luce su aspetti finora poco evidenziati. Si intravedono possibili estensioni in analogia con superfici differenziabili di maggiore complessità.
Per quanto riguarda la costruzione di grafi estremali, Pepe conta di usare varietà algebriche su campi finiti e insiemi lineari su un sottocampo di spazi proiettivi finiti. Le varietà algebriche su campi finiti sono state fino ad ora poco usate nella costruzione di grafi estremali, e quando questo è avvenuto, come nel caso del Norm Graph [Alon et al. 1999], si è rivelata una strategia vincente. Gli insiemi lineari su un sottocampo sono una struttura algebrico-combinatoria mai usata nella combinatoria estremale, ma che si è rivelata molto versatile ed utilissima nella costruzione di codici, blocking set di spazi proiettivi, semicorpi finiti, etc.
La classificazione delle B-orbite attraverso tecniche quiver, è recentemente stato pubblicato da Cerulli-Irelli, Esposito e Boos. Nel prossimo futuro vorremmo affrontare la parte più difficile del progetto nella quale si intende descrivere le degenerazioni delle B-orbite in termini quiver.