Il presente progetto di ricerca verte sullo studio dell'operatore di tipo Dirac $-i \alpha \dot \nabla + m \beta + V$ con massa positiva o nulla $m$ e potenziale a valori complessi $V$. In particolare, gli oggetti della nostra trattazione sono le questioni quantitative relative allo spettro discreto di tale operatore, la localizzazione degli autovalori mediante stime uniformi del risolvente e la possibilità di controllarli con opportune norme del potenziale $V$, oppure di asserire che lo spettro discreto sia vuoto sotto ipotesi di piccolezza del potenziale.
Un primo risultato in tal senso è stato da noi ottenuto sfruttando il principio di Birman-Schwinger e alcune stime per il risolvente del Laplaciano coinvolgenti particolari norme miste e una localizzazione nello spazio delle frequenze. Tuttavia esso risulta essere solo un punto di partenza dal quale proseguire la nostra indagine sull'argomento.
La materia della nostra ricerca è un tema attuale e di crescente interesse in letteratura, con risvolti applicativi, ad esempio nel campo della meccanica quantistica, ma anche di rilevanza squisitamente matematica, dovuta al fatto di trattare con operatori non autoaggiunti.
Come già anticipato, il nostro studio si inserisce in un contesto di ricerca recente e in fermento, ancora ricco da esplorare. Attualmente, abbiamo già ottenuto un primo risultato che stabilisce la localizzazione degli autovalori discreti dell'operatore di Dirac con potenziale complesso, in dimensione $n$ maggiore o uguale a 2, all'interno di dischi del piano complesso con raggio e centro dipendenti dalla massa e da una particolare norma del potenziale, supponendo che essa sia sufficientemente piccola. In particolare, in caso di massa nulla, lo spettro puntuale risulta vuoto. La norma da noi considerata è $||V|| := \max_{j=1,\dots,n} ||V||_{L^1_{x_j} L^\infty_{x'}}$, ottenuta scegliendo il massimo tra alcune norme miste.
Gli ingredienti chiave per questo risultato sono due. Innanzitutto il principio di Birman-Schwinger, il quale asserisce che se $z$ è un elemento dello spettro puntuale dell'operatore differenziale $D_m + V$ , allora -1 è nello spettro dell'operatore integrale di Birman-Schwinger $K = |V|^{1/2} (D_m+V-z)^{-1} U|V|^{1/2}$, dove $V=U|V|$ è la decomposizione polare del potenziale. Dunque risulta $||K|| \ge 1$, e a questo punto è sufficiente stimare la norma di $K$.
Il secondo elemento sono delle stime uniformi del risolvente del Laplaciano $(-\Delta-z)^{-1}$ e delle sue derivate, ottenute localizzandoci in opportune regioni dello spazio delle frequenze. La difficoltà maggiore è consistita nel provare queste stime nella regione intorno alla sfera unitaria nello spazio delle frequenze, siccome il moltiplicatore di Fourier del risolvente per $z=1$ ha denominatore nullo su questa superficie. Questo problema è stato aggirato usando un opportuno operatore isometrico proiettante gli emisferi sul piano cartesiano di riferimento.
Tuttavia, questo risultato è solo un punto di partenza, che lascia alcune questioni irrisolte. Ad esempio, se sia possibile stabilire la costante ottimale che appare nella nostra stima, o almeno un suo andamento asintotico, oppure se in maniera simile possano essere ottenute nuove stime del risolvente del Laplaciano, che portino dunque a risultati con norme diverse per quanto riguarda la localizzazione degli autovalori dell'operatore di Dirac.
Data la gran quantità di questioni irrisolte inerenti la materia, siamo confidenti nella possibilità di contribuire alla letteratura scientifica con nuovi lavori.