Il punto di vista moderno sulle Equazioni alle Derivate Parziali, adottato da una vastissima comunità di matematici, si interessa a quei modelli le cui soluzioni manifestano dei fenomeni rilevanti per le scienze applicate.
La "fenomenologia" è dunque alla base delle attuali classificazioni delle EDP: ci occuperemo in questo progetto di fenomeni dispersivi, conservativi e diffusivi. Tratteremo modelli della fluidodinamica (mKdV, Sasa-Satsuma, Akhmediev), della Meccanica Quantistica (Nonlinear Schrödinger, Dirac), nonché moti per curvatura media che appaiono nelle Scienze dei Materiali. Saranno coinvolti Analisi di Fourier, Calcolo delle Variazioni, metodi entropici e di Teoria Geometrica della Misura. Studieremo inoltre alcuni problemi spettrali che derivano dallo studio di Hamiltoniane non auto-aggiunte (relativistiche e non relativistiche), particolarmente in voga, puntando ad ottenere risultati all'avanguardia sulla localizzazione degli eventuali autovalori e la classificazione dello spettro. Studieremo infine alcune famiglie di rilevanti disuguaglianze variazionali utili allo studio dell'autovalore principale di alcuni operatori completamente nonlineari.
Seguendo la stessa numerazione usata in precedenza, passiamo a descrivere, punto per punto, l'innovatività e le potenzialità della ricerca proposta.
1. Stabilità del Solitone per il modello di Sasa-Satsuma
Allo stato attuale, nulla è noto sulla stabilità/instabilità del solitone per tale modello. Qualunque risultato a riguardo risulterebbe essere innovativo per la comunità. Una riprova di ciò è stata ricevuta dall'accoglienza della comunità applicata per il recente risultato in [AFM], in cui si è dimostrato che le cosiddette "onde che appaiono dal nulla" (ovvero i solitoni di Akhmediev) sono in realtà oggetti non-linearmente instabili, e dunque lontani dal descrivere situazioni reali. Le potenzialità di un risultato di stabilità per Sasa-Satsuma (che è atteso) sono enormi, perché motiverebbero la comunità di matematici applicati ad usarlo per una solida descrizione dei fenomeni.
2) Continuazione Unica per Zakarov-Kutsnetsov (ZK)
La domanda sul miglior decadimento spaziale possibile, in due tempi distinti, per soluzioni non banali di modelli analoghi ha riscosso un grande successo, negli ultimi anni, presso la comunità di matematici interessata a modelli dispersivi. La motivazione originale è legata allo studio quantitativo del Principio di Indeterminazione (e quindi all'equazione di Schrödinger) ma ha poi dimostrato di avere notevoli ripercussioni nello studio di fenomeni di esplosione (blow-up). Non essendoci una tecnica universale che permetta di ottenere i corretti pesi di Carleman e non conoscendo l'esatto comportamento della soluzione fondamentale, la domanda per ZK è attualmente aperta in dimensione superiore a 2. Una risposta aprirebbe una vasta serie di possibilità di estendere il conoscimento ad una vasta famiglia di modelli dal comportamento analogo.
3) Assenza di autovalori per Hamiltoniane relativistiche non autoaggiunte
Le recenti frontiere della Meccanica Quantistica hanno varcato la soglia della simmetria, per entrare nello studio di oggetti non auto-aggiunti. La Teoria Spettrale costruisce le fondamenta matematiche su cui far partire uno studio rigoroso. E' quindi enorme l'innovatività di un progetto che promette di bypassare il Teorema Spettrale, introducendo il duttile punto di vista delle EDPs per studiare domande di questo tipo. Le potenzialità sono notevoli e permetteranno, ad esempio, di avanzare nello studio di nuovi materiali come il grafene.
4) Stime uniformi del risolvente
Con obiettivi simili a quelli del punto 3, qui ci proponiamo di essere innovativi anche per la comunità di matematici puri, in particolare per coloro che ruotano attorno alle domande che nascono in Analisi Armonica. Una profonda comprensione del fallimento/validità di una stima uniforma del risolvente sembra infatti essere di notevole interesse, per capire alcuni problemi critici.
Le potenzialità sono anche qui importanti, ancora una volta per il particolare legame fra questi oggetti matematici ed il ruolo che essi rappresentano nelle più moderne teorie quantistiche.
5. Disuguaglianze di Brunn-Minkowski e di Faber-Krahn per l'autovalore principale di operatori completamente non lineari
Al momento non esistono risultati di questo tipo per l'autovalore principale di operatori completamente non lineari. Per quanto riguarda la disuguaglianza di Brunn-Minkowski, siamo molto fiduciosi che le tecniche proposte, che abbiamo già utilizzato per affrontare altri problemi, possano portare a risultati nuovi e abbastanza generali. La disuguaglianza di Faber-Krahn sembra più ostica da affrontare nella massima generalità; tuttavia, pensiamo di poter ottenere almeno risultati validi per alcune classi di operatori.
6. Formula di Gauss-Green e problemi di semicontinuità nello spazio delle funzioni a variazione limitata
Per affrontare i problemi proposti in questo tema sarà necessario sviluppare nuovi metodi per l'analisi dei campi vettoriali a divergenza misura, che sono di grande importanza di per sé anche a prescindere dalle applicazioni alle leggi di conservazione e ai flussi di Cauchy. Riteniamo che qualsiasi avanzamento, anche parziale, possa essere di grande interesse per la comunità di riferimento.
7. Moto per curvatura cristallina in strutture eterogenee
La proposta di combinare tra loro questioni relative a evoluzioni geometriche, equazioni differenziali a secondo membro discontinuo e problemi di omogeneizzazione, introdotta e nei recenti lavori e alla base dei risultati ottenuti, sembra avere un buon margine di applicabilità nello studio dei problemi relativi alle evoluzioni geometriche.
8. Proprietà geometriche di Soluzioni di Problemi Ellittici
L'interesse della comunità per queste tematiche è recentemente esploso, soprattutto grazie all'interesse della comunità interessata in problemi inversi. I due autori in [AN1, AN2, AN3] hanno già dimostrato come i loro risultati possano essere di forte impatto su tale comunità e ciò rende ottimisti sull'impatto futuro di questa parte del progetto.