Il progetto di ricerca ha come scopo l'analisi rigorosa di alcuni problemi della meccanica statistica fuori dall'equilibrio, in particolare nell'ambito delle teorie cinetiche e del comportamento asintotico di dinamiche stocastiche di particelle o di spin. Gli argomenti affrontati sono collegati a problemi della fisica, della biologia e delle neuroscienze, e verranno trattati utilizzando strumenti provenienti da diversi ambiti della matematica, tra cui il calcolo delle variazioni, la teoria della probabilità e la teoria geometrica della misura.
L'innovatività dei temi di ricerca presentati consiste essenzialmente nel cercare nuovi approcci, tecnici e concettuali, alla risoluzione dei problemi in questione. Di seguito, in dettaglio, i principali aspetti innovativi e le prospettive di progresso.
A.1. L'approccio flusso gradiente a equazioni cinetiche è innovativo e solo recentemente è stato presentato nel caso di equazioni omogenee [Er] o di equazioni lineari non omogenee [BBB]. Attraverso lo studio di un modello paradigmatico (modello di Kac) si vuole analizzare la connessione tra formulazione flusso gradiente di equazioni cinetiche e principio delle grandi deviazioni. Si vuole inoltre utilizzare l'approccio in [BBB] per studiare una formulazione naturale di flusso gradiente per equazioni super-diffusive.
A.2. Si vuole affrontare il problema della buona positura per l'equazione di Vlasov con interazione singolare (o Vlasov-Poisson nel caso di interazione Coulombiana) in presenza di campi esterni singolari (es. campi magnetici) che hanno l'effetto di confinare il sistema in un certo dominio. Ci si propone inoltre di costruire soluzioni periodiche non banali per l' "Hamiltonian mean field model" .
B.1. Ci si propone di analizzare la dinamica di Ising a temperatura zero discutendo in particolare la formulazione "a-la Brakke" dell'evoluzione limite (descritta invece classicamente in [Sp, LST]). Da un punto di vista metodologico si vogliono introdurre nel contesto delle dinamiche di spin gli strumenti della teoria geometrica della misura, che consentirebbero di trattare interfacce non regolari e non convesse.
B.2. Avendo recentemente ottenuto i principi di grandi deviazione di livello 2.5 e i teoremi di fluttuazioni per catene di Markov con campo esterno periodico [BCFG], ci si propone di studiare le relazioni di incertezza e di estendere l'analisi a diffusioni su varietà compatte e a sistemi semi-Markoviani.
C.1. Ci si propone di generalizzare un modello standard in machine learning, la macchina di Boltzmann, ed il suo duale, il modello di Hopfield, la cui indagine rigorosa è possibile mediante un opportuno adattamento di alcune tecniche della meccanica statistica dei sistemi disordinati (stabilità stocastica, campi di cavità) [ABGGM], [AMT]. In particolare si vuole studiare il caso di architetture multi-partite ed interazioni multiple: entrambe le modifiche sono alla base del deep learning.
C.2. Per analizzare le serie temporali ed evidenziare le informazioni significative si prevede l'estrazione del trend e la stima di estremi attraverso il filtraggio del rumore con metodi di regressione non parametrica, quali decomposizioni multiscala wavelets. Le serie multivariate ottenute da misure simultanee consentono di evidenziare legami di causalità, interazione unidirezionale o bidirezionale, ritardo temporale.